Inecuación cuadrática con una incógnita

Presentación del tema: "Inecuación cuadrática con una incógnita"— Transcripción de la presentación:

1 Inecuación cuadrática con una incógnita
Dirección de Formación Básica

2 Inecuación cuadrática con una incógnita
Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita. Modelar inecuaciones cuadráticas con una incógnita en situaciones de contexto real.

3 Inecuación cuadrática con una incógnita
Problema motivador Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales.

4 Inecuación cuadrática con una incógnita
Se llama inecuación cuadrática con una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 > 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ≥ 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 < 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ≤ 0 donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, pero con 𝑎≠0.

5 Inecuación cuadrática con una incógnita
¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita? Teorema 1. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐>0, entonces la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 posee dos raíces reales diferentes: 𝑟 1 y 𝑟 2 , con 𝑟 1 < 𝑟 2 . + − + Si 𝑎>0: −∞ +∞ 𝑟 1 𝑟 2 − + − Si 𝑎<0: −∞ +∞ 𝑟 1 𝑟 2

6 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva 𝑥 2 >25 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. -5 5 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 >25 entonces 𝑥 2 −25>0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 −25, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 𝑥 2 −25=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 𝑟 2 =5 + − + -5 5 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 −25>0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; −5 ∪ 5; +∞

7 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva 3 𝑥 2 ≤2𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≤0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. 2/3 −∞ +∞ En nuestro caso: 3𝑥 2 ≤2𝑥 entonces 3𝑥 2 −2𝑥≤0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 3𝑥 2 −2𝑥, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + − + En nuestro caso: 3𝑥 2 −2𝑥=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 = 𝑟 2 = 2 3 2/3 −∞ +∞ Ahora bien, como 3𝑥 2 −2𝑥≤0 se concluye que 𝐶.𝑆= 0; 2 3

8 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva 2 𝑥 2 −1≥𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≥0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. -1/2 1 −∞ +∞ En nuestro caso: 2𝑥 2 −1≥𝑥 entonces 2 𝑥 2 −𝑥−1≥0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E=2 𝑥 2 −𝑥−1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + − + En nuestro caso: 2 𝑥 2 −𝑥−1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 𝑟 2 =1 -1/2 1 −∞ +∞ Ahora bien, como 2 𝑥 2 −𝑥−1≥0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞;−1/2 ∪ 1; +∞

9 Inecuación cuadrática con una incógnita
Teorema 2. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=0, entonces la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 tiene multiplicidad de raíces, es decir 𝑟 1 = 𝑟 2 . + + Si 𝑎>0: −∞ +∞ 𝑟 1 − − Si 𝑎<0: −∞ +∞ 𝑟 1

10 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva 𝑥 2 −4𝑥≥−4 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≥0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. 2 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 −4𝑥≥−4 entonces 𝑥 2 −4𝑥+4≥0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 −4𝑥+4, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 𝑥 2 −4𝑥+4=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 = 𝑟 2 =2 2 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 −4𝑥+4≥0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; +∞

11 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva 4 𝑥 2 +12𝑥>−9 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. -3/2 −∞ +∞ En nuestro caso: 4𝑥 2 +12𝑥>−9 entonces 4𝑥 2 +12𝑥+9>0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 4𝑥 2 +12𝑥+9, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 4𝑥 2 +12𝑥+9=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 𝑟 2 =− 3 2 -3/2 −∞ +∞ Ahora bien, como 4𝑥 2 +12𝑥+9>0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; +∞ − −3/2

12 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva 9 𝑥 2 ≤6𝑥−1 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≤0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. 1/3 −∞ +∞ En nuestro caso: 9 𝑥 2 ≤6𝑥−1 entonces 9 𝑥 2 −6𝑥+1≤0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E=9 𝑥 2 −6𝑥+1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 9 𝑥 2 −6𝑥+1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 = 𝑟 2 = 1 3 1/3 −∞ +∞ Ahora bien, como 9𝑥 2 −6𝑥+1≤0 se concluye que 𝐶.𝑆= 1/3

13 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva 𝑥 2 +1<−2𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. −1 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 +1<−2𝑥 entonces 𝑥 2 +2𝑥+1<0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 +2𝑥+1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 𝑥 2 +2𝑥+1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 𝑟 2 =−1 −1 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 +2𝑥+1<0 se concluye que 𝐶.𝑆=𝜙

14 Inecuación cuadrática con una incógnita
Teorema 3. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0, entonces la ecuación cuadrática no tiene una sola raíz real, por tanto: Si 𝑎>0 y 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0 entonces 𝐶𝑆=ℝ Si 𝑎>0 y 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0 entonces 𝐶𝑆=𝜙

15 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva 3 𝑥 2 +𝑥<−7 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0. Paso 3. Concluyendo Como ∆<0 y además se tiene que 𝑎>0 y 3 𝑥 2 +𝑥+7<0, entonces 𝐶.𝑆=𝜙 En nuestro caso: 3 𝑥 2 +𝑥<−7 entonces 3 𝑥 2 +𝑥+7<0 Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 3 𝑥 2 +𝑥+7=0 no tiene raíces reales, ya que ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0

16 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva 𝑥 2 −2𝑥>−5 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Concluyendo. Como ∆<0 y además se tiene que 𝑎>0 y 𝑥 2 −2𝑥+5>0, entonces 𝐶.𝑆=ℝ En nuestro caso: 𝑥 2 −2𝑥>−5 entonces 𝑥 2 −2𝑥+5>0 Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 𝑥 2 −2𝑥+5=0 no tiene raíces reales, ya que ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0

17 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1. Si 𝑥 árboles producen (80 – 𝑥) frutos cada uno. Calcule cuántos árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los frutos. Resolución La cosecha 𝐶 se define como 𝐶 = Árboles plantados ∙ Frutos de cada árbol Con ello 𝐶=(𝑥)(80−𝑥) 𝐶=80𝑥− 𝑥 2 Piden hallar 𝑥 de tal manera que la cosecha supere los 1500 frutos, es decir 𝐶>1500 80𝑥− 𝑥 2 >1500 Escribiendo la inecuación cuadrática − 𝑥 2 +80𝑥−1500>0 𝑥 2 −80𝑥+1500<0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =30 𝑥 2 =50 Ubicando las raíces en la recta real: 30 50 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de plantar entre 31 a 49 árboles.

18 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 2. Si el precio 𝑝 (en dólares) de cierto artículo depende de la cantidad demanda 𝑞 y está dada por 𝑝=150−3𝑞. Obtenga las unidades que deben demandarse para obtener ingresos de al menos $1800. Resolución Recuerde que el ingreso 𝐼 se define como 𝐼= Precio unitario de ventas ∙ Cantidades vendidas Con ello 𝐼=(𝑝)(𝑞) 𝐼= 150−3𝑞 𝑞 𝐼=150𝑞−3 𝑞 2 Piden hallar 𝑞 de tal manera que el ingreso sea de al menos $1800 frutos, es decir 𝐼≥1800 150𝑞−3 𝑞 2 ≥1800 Escribiendo la inecuación cuadrática − 3𝑞 𝑞−1800≥0 𝑞 2 −50𝑞+600≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =20 𝑥 2 =30 Ubicando las raíces en la recta real: 20 30 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 30 artículos.

19 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 3. El costo de producir 𝑥 lámparas está dada por 𝐶=200+80𝑥+ 𝑥 2 . Si éstas se pueden vender a S/.160. Calcule la cantidad de lámparas que se deben de producir y vender para obtener utilidades semanales de al menos S/ Resolución 𝑈≥1000 − 𝑥 2 +80𝑥−200≥1000 Escribiendo la inecuación cuadrática − 𝑥 2 +80𝑥−1200≥0 𝑥 2 −80𝑥+1200≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =20 𝑥 2 =60 Ubicando las raíces en la recta real: Sea 𝑥 las lámparas producidas y vendidas. El ingreso 𝐼 estará dada por 𝐼=160𝑥 Con ello, la utilidad 𝑈 es 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈=160𝑥−(200+80𝑥+ 𝑥 2 ) 𝑈=− 𝑥 2 +80𝑥−200 Piden hallar 𝑥 de tal manera que la Utilidad sea del menos S/ , es decir: 20 60 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 60 lámparas.

20 Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 4. Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de 0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes. Calcule el precio máximo que deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles. Resolución Sea 𝑥 la cantidad de veces que se incremento el precio en S/.0,5, entonces el ingreso por la ventas de periódicos es 𝐼=(𝑝)(𝑞) 𝐼=(4+0,5𝑥)(120−8𝑥) 𝐼=−4 𝑥 2 +28𝑥+480 Vamos a hallar los valores de 𝑥 de tal manera que el ingreso sea de al menos S/.520, es decir 𝐼≥520 −4 𝑥 2 +28𝑥+480≥520 Escribiendo la inecuación cuadrática − 4𝑥 2 +28𝑥−40≥0 𝑥 2 −7𝑥+10≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =2 𝑥 2 =5 Ubicando las raíces en la recta real: 2 5 − + −∞ +∞ Es decir: 2≤𝑥≤5 Ahora bien, el precio máximo que deberá fijar es: 𝑝=4+0,5 5 =6,5 nuevos soles.

21 Inecuación cuadrática con una incógnita
Conclusiones Para resolver una inecuación cuadrática, primero se tiene que llevar a una de las formas conocidas. Debemos de mantener al número que multiplica al 𝑥 2 con signo positivo. Se deben de hallar las raíces reales de la ecuación cuadrática y posteriormente usar el teorema 1 o 2, dependiente de las raíces encontradas. Si no hay raíces reales, usar el teorema 3. Concluir adecuadamente.

22 Inecuación cuadrática con una incógnita
Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación. Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.