Aplicaciones de la función cuadrática

Presentación del tema: "Aplicaciones de la función cuadrática"— Transcripción de la presentación:

1 Aplicaciones de la función cuadrática
Dirección de Formación Básica.

2 Aplicaciones de la función cuadrática
Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, Usted estará en la capacidad de: Identificar e interpretar los valores máximo y/o mínimo de funciones cuadráticas en una situación de contexto real.

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Problema motivador: Un teatro tiene una capacidad de espectadores. Usted es el promotor de una obra teatral y estima que si se cobre $30 por localidad, podría contar con 500 espectadores. Pero por cada rebaja de $1 asistirían 50 personas más. Sin embargo, los consultores de mercadotecnia afirman que si se usa la máxima capacidad, no se obtendrá el máximo ingreso. ¿Está Usted de acuerdo?

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Ejemplo 1 [Modelación de la función ingreso 𝑰=𝒑∙𝒒] El fabricante de un producto conoce que la ecuación de demanda para éste es: 𝑝= – 2 𝑞, donde: 𝑝 es el precio por unidad, cuando los consumidores demandan 𝑞 unidades por semana. Modele y grafique la función ingreso en términos de la cantidad demandada. Determine el nivel de producción de modo que maximice el ingreso total del fabricante y calcule el ingreso máximo que podría obtener el fabricante. Resolución La función ingreso es 𝐼=𝑝𝑞 𝑞 𝐼 𝐼=𝑝∙𝑞 𝐼= 1 000−2𝑞 ∙𝑞 𝐼=1 000𝑞−2 𝑞 2 𝐼 𝑞 =−2 𝑞 𝑞 Hallando el vértice 𝑉(ℎ;𝑘) ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− −2 =250 𝑘=𝐼 ℎ =𝐼(250) =− (250) = b) Se concluye que: el nivel de producción que maximiza el ingreso es de 250 unidades y que el ingreso máximo es de S/ Con ello, el vértice es 𝑉(250; )

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Ejemplo 2 [Modelación de la función utilidad 𝑼=𝑰−𝑪] Handy Corporation (HC) es un fabricante de computadoras y actualmente está planeando penetrar en el mercado de microcomputadoras. Los ingenieros estiman que el costo unitario de producción es de $100. El costo fijo que se requiere para establecer la línea de producción se calcula en US$ anuales. Los investigadores de mercado conocen que la ecuación de demanda es 𝑞=−40𝑝 , donde: 𝑝 es el precio por unidad, cuando los consumidores demandan 𝑞 microcomputadoras por año. Modele la función utilidad en términos de las cantidades producidas y vendidas. Determine el precio de venta que maximice la utilidad del fabricante y calcule la utilidad máxima que podría obtener el fabricante. Resolución La función utilidad es 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈=(−40 𝑝 𝑝)−(−400𝑝 ) Construimos la función ingreso 𝐼=𝑝∙𝑞 𝑈(𝑝)=−40 𝑝 𝑝− 𝐼=𝑝∙𝑞 Hallando el vértice 𝑉(ℎ;𝑘) 𝐼=𝑝(−40𝑝 ) ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− −40 =425 𝐼 𝑝 =−40 𝑝 𝑝 𝑘=𝑈 ℎ =𝑈(425) Construimos la función costo total 𝐶= 𝐶 𝑓 + 𝐶 𝑣 = Con ello, el vértice es 𝑉(425; ) 𝐶= 𝑞 𝐶= (−40𝑝 ) b) Se concluye que: el precio de venta que maximiza la utilidad del fabricante es de $425 y que la utilidad máxima es de $ 𝐶(𝑝)=−400𝑝 Luego, la función utilidad es 𝑈=𝐼−𝐶

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Ejemplo 3. [Modelación de Oferta] La tabla adjunta muestra los resultados de un sondeo de opinión aplicado a fabricantes de lentes para el sol, sobre las cantidades que están dispuestos a ofrecer a distintos precios. Precio unitario 𝑝 en $ 10 20 30 Cantidad ofrecida 𝑞 95 395 895 Modele la función oferta 𝑞 𝑠 =𝑓(𝑝), sabiendo que es cuadrática. Resolución Para 𝑝=30 y 𝑞=895, se tiene Como la función oferta 𝑞=𝑓(𝑝) es cuadrática, entonces 𝑓 30 =𝑎 (30) 2 +𝑏 30 +𝑐=895 𝑞=𝑓 𝑝 =𝑎 𝑝 2 +𝑏𝑝+𝑐 →900𝑎+30𝑏+𝑐=895 Para 𝑝=10 y 𝑞=95, se tiene Se plantea y resuelve el SEL 𝑓 10 =𝑎 (10) 2 +𝑏 10 +𝑐=95 100𝑎+10𝑏+𝑐 = 𝑎+20𝑏+𝑐 = 𝑎+30𝑏+𝑐 = 895 →100𝑎+10𝑏+𝑐=95 Para 𝑝=20 y 𝑞=395, se tiene Obteniendo que 𝑎=1, 𝑏=0 y 𝑐=−5 𝑓 20 =𝑎 (20) 2 +𝑏 20 +𝑐=395 →400𝑎+20𝑏+𝑐=395 Por tanto, la función oferta es 𝑞 𝑠 =𝑓 𝑝 = 𝑝 2 −5

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Ejemplo 4. [Modelación de demanda] La tabla adjunta muestra los resultados de un sondeo de opinión aplicado a compradores de lentes para el sol, sobre las cantidades que están dispuestos a demandar a distintos precios. Precio unitario 𝑝 en $ 10 11 15 Cantidad demanda 𝑞 280 270 190 Modele la función demanda 𝑞 𝑑 =𝑓(𝑝), sabiendo que es cuadrática. Resolución Como la función demanda 𝑞=𝑓(𝑝) es cuadrática, entonces Para 𝑝=15 y 𝑞=190, se tiene 𝑓 15 =𝑎 (15) 2 +𝑏 15 +𝑐=190 𝑞=𝑓 𝑝 =𝑎 𝑝 2 +𝑏𝑝+𝑐 →225𝑎+15𝑏+𝑐=190 Para 𝑝=10 y 𝑞=280, se tiene Se plantea y resuelve el SEL 𝑓 10 =𝑎 (10) 2 +𝑏 10 +𝑐=280 100𝑎+10𝑏+𝑐 = 𝑎+11𝑏+𝑐 = 𝑎+15𝑏+𝑐 = 190 →100𝑎+10𝑏+𝑐=280 Para 𝑝=11 y 𝑞=270, se tiene Obteniendo que 𝑎=−2, 𝑏=32 y 𝑐=160 𝑓 11 =𝑎 (11) 2 +𝑏 11 +𝑐=270 Por tanto, la función demanda es 𝑞 𝑑 =𝑓 𝑝 =−2 𝑝 2 +32𝑝+160 →121𝑎+11𝑏+𝑐=270

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Ejemplo 5. [Equilibrio en el mercado] Las funciones de la oferta y la demanda de los lentes del sol son 𝑞 𝑠 = 𝑝 2 −5 y 𝑞 𝑑 =−2 𝑝 2 +32𝑝+160. Determine la cantidad de equilibrio. Resolución Para obtener el equilibrio en el mercado, se deben de igualar y resolver la cantidad ofertada con la cantidad demanda. Operando resulta que 𝑝 1 =14,47 𝑝 2 =−3,8 Se descarta el precio negativo 𝑞 𝑠 = 𝑞 𝑑 Conocido el precio de equilibrio 𝑝=14,47 , se procederá a obtener la cantidad de equilibrio → 𝑝 2 −5=−2 𝑝 2 +32𝑝+160 →3 𝑝 2 −32𝑝−165=0 Vamos a usar la fórmula general, para ello identificamos que 𝑞= 𝑝 2 −5 →𝑞= (14,47) 2 −5 𝑎=3, 𝑏=−32 y 𝑐=−165 →𝑞=204,25 Luego Como los artículos son lentes de sol, se concluye que entre 204 y 205 lentes de sol se alcanza aproximadamente el equilibrio. 𝑝 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑝 1,2 = −(−32)± (−32) 2 −4(3)(−165) 2(3)

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Ejemplo 6. [Toma de decisiones] Un teatro tiene una capacidad de espectadores. Usted es el promotor de una obra teatral y estima que si se cobra $30 por localidad, podría contar con 500 espectadores. Pero por cada rebaja de $1 asistirían 50 personas más. Sin embargo, los consultores de mercadotecnia afirman que si se usa la máxima capacidad, no se obtendrá el máximo ingreso. ¿Está Usted de acuerdo? Resolución Procederemos a construir la función ingreso. Sea 𝑥 la cantidad de veces que se rebaja del precio en un dólar, entonces 𝐼=𝑝∙𝑞 →𝐼= 30−𝑥 ∙ 𝑥 Sin la rebaja →𝐼(𝑥)=−50 𝑥 𝑥+15000 →𝐼=(30)∙(500) Procederemos a hallar el ingreso máximo, para ello, encontraremos el vértice 𝑉(ℎ; 𝑘) Se rebaja la entrada en $1 →𝐼= 30−1 ∙ ℎ=− 𝑏 2𝑎 =− −50 =10 Se rebaja la entrada en $2 𝑘=𝐼 ℎ =𝐼 10 =20 000 →𝐼= 30−2 ∙ Significa que el ingreso máximo esperado es de $20 000, y se alcanza para Se rebaja la entrada en $3 →𝐼= 30−3 ∙ 𝑞= =1 000 espectadores

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Conclusiones: Para encontrar el máximo o mínimo valor de una función cuadrática, se debe de hallar el vértice de la parábola.

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Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.