Apuntes 2º Bachillerato C.T. REGLAS DE DERIVACIÓN TEMA 12.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Sea y = Ln x Aplicando la definición de derivada: Ln (x + x) - Ln x 1 y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑---------- = ----- x0 x x Sea y = log x Se procede a un cambio de base: 10y = x  y = Ln x / Ln 10 1 1 y ' = -------- . ---- Ln 10 x En general, sea y = loga x Se procede a un cambio de base: ay = x  y = Ln x / Ln a 1 1 y ' = ------- . ---- Ln a x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Derivada del logaritmo de una función Sea y = Ln f(x) Aplicando la definición de derivada: Ln f(x + x) - Ln f(x) f ‘ (x) y ' = lím ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--------------- = -------------- x0 x f (x) Fórmula que sólo es válida para logaritmos neperianos. Si el logaritmo no es neperiano, se procederá a un CAMBIO DE BASE. Sea y = log f(x) o y = loga f(x) Aplicando un cambio de base: f(x) = 10y  y = Ln f(x) / Ln 10 Aplicando un cambio de base: f(x) = ay  y = Ln f(x) / Ln a 1 f ‘ (x) 1 f ‘ (x) y ' = -------- . ----------- o y ‘ = -------- . ---------- Ln 10 f(x) Ln a f (x) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea y = ex la llamada función exponencial. Tomando logaritmos neperianos: Ln y = Ln ex = x. Ln e = x Derivando: D(Ln y) = D( ln f (x) ) = f ’(x) / f (x) como ya hemos visto. y ‘ / y = 1  y ‘ = y . 1 = y  y ‘ = ex La derivada de la función exponencial es la misma función exponencial. Sea y = ax , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = x. Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ 1. Ln a + x. 0] ; y ‘ = y . Ln a  y ‘ = ax . Ln a @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. Sea y = af(x) , donde a es siempre un número real y positivo. Tomando logaritmos: Ln y = f(x). Ln a ; y derivamos ... y ‘ / y = [ f ‘ (x). Ln a + f(x). 0] ; y ‘ = y . [ f ‘ (x).Ln a ]  f(x)  y ‘ = a . f ‘ (x). Ln a g(x) Sea y = f (x) , función POLINÓMICO-EXPONENCIAL Tomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos ... y ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  y ‘ = y . [ … ]  y ‘ = f (x) . [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) ) ] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Como hemos visto las razones trigonométricas están relacionadas entre sí. Ello hace que sólo tengamos que saber las derivadas de las dos primeras: Sea y = sen x  y ‘ = cos x Sea y = cos x  y ‘ = - sen x Al poder poner y = tg x como y = sen x / cos x , para derivarla la trataremos como una división de funciones. Y del mismo modo el resto de funciones trigonométricas. Sea y = sen f(x)  y ‘ = cos f(x) . f ’ (x) Sea y = cos f(x)  y ‘ = - sen f(x) . f ’ (x) Sea y = Ln sen x  y ‘ = cos x / sen x Sea y = Ln cos x  y ‘ = - sen x / cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. REGLA DE LA CADENA Ya hemos visto como dadas dos funciones f(x) y g(x) , no es lo mismo y = f(g(x)) que y = g(f(x)) Ambas funciones compuestas son diferentes, y diferentes serán por tanto sus funciones derivadas. Sea y = f(g(x))  y’ = f ’ (g(x)) . g ‘ (x) Sea y = g(f(x))  y’ = g ‘ (f(x)) . f ‘ (x) Ejemplos Sea y = sen7 x = ( sen x )7  Es una función polinómica. y ‘ = 7.( sen x ) 6 . cos x Sea y = sen x7  Es una función trigonométrica. y ‘ = cos x 7 . 7. x 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.