Sistemas de Control en Tiempo Discreto Transformada Z inversa Se plantean dos formas para hallar la transformada Z inversa: a) Método de división directa. Ejemplo: hallar a partir de X(z) = z/(z2-0,25) La división directa de los polinomios tiene el cociente que sigue: Q(z)=z-1+0,25z-3+0.0625z-5+0.015625z-7+…. Así, atendiendo a la propiedad de traslación real (retardo), resulta: K x(kT) 0 0 1 0,25 0,0625…

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Transformada Z inversa b) Método de expansión en fracciones simples. La idea del método es la obtención de fracciones simples en la forma básica. Tomando el mismo ejemplo: X(z) = z/(z2 - 0,25)=z/¨[(z - 0,5)(z + 0,5)] Para expandir se hace la división X(z)/z, quedando, X(z)/z = 1/(z2 - 0,25) = 1/ [(z - 0,5)(z + 0,5)] = 1/(z - 0,5) – 1/(z + 0,5) Devolviendo la división, quedan los términos básicos siguientes: X(z) = z/(z - 0,5) – z/(z + 0,5) Con los cuales resulta finalmente, x(kT)= 0,5k – (-0,5k) Dándole valores al índice k se observa que se repiten los valores calculados mediante el método de división directa.

Sistemas de Control en Tiempo Discreto ¿Qué hacer si no existe ninguna z en el numerador para dividir? Por ejemplo: X(z) = 1/(z2 - 0,25) Se Toma una nueva variable, tal que Y(z) = z X(z) luego y(kT) = 0,5k – (-0,5k) Como X(z) = z-1 Y(z) ,significa que la solución es la misma pero retardada en un período: X(kT) = 0 si para K=0 X(kT) = 0,5k-1 – (-0,5k-1) para K ≥ 1

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Solución de ecuaciones de diferencias mediante Z Ya se vio la forma general de una ecuación de diferencias: xk + a1 xk-1 + a2 xk-2 +…..+ an xk-n = b0 uk + b1 uk-1 + b2 uk-2 +….+bm uk-m Cuya solución en tiempo discreto (similar a las ecuaciones diferenciales en tiempo continuo), tiene una solución homogénea que depende de las condiciones iniciales y una solución particular que depende de la entrada o función forzante. Siempre se ha de tener en cuenta las propiedades de traslación real (adelanto y retardo) en la solución de este tipo de ecuaciones.

Sistemas de Control en Tiempo Discreto Ejemplo. Hallar x(kT) dada la ecuación en diferencia xk+2 + 3 xk+1 + 2 xk = 0 y las condiciones iniciales ; x0 = 0 y x1 = 1 Solución de ecuaciones de diferencias en forma recursiva Existen circunstancias en las cuales es posible resolver ciertas ecuaciones de diferencias por recursividad; por ejemplo: Hallar xk para la serie geométrica xk+1 = R.xk donde R es la razón de la serie. La recursividad dice, X1 = R x0 X2 = R x1 = R (R x0) = R2 x0 X3 = R x2 = R R(R x0) = R3 x0 . Xk= Rk x0 ¿Será la misma solución mediante la transformada?