El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores dirección 𝒂 𝒃 𝐿 1 : 𝑥,𝑦 = 2,−1 +𝛼(−3,6) { } (−6,−3) 𝐿 2 : 𝑥,𝑦 = 3,5 +𝛼(2,−4) { } (4,2) −𝟔𝒙−𝟑𝒚=−𝟏𝟐+𝟑 El paralelismo entre rectas lo determinan los vectores dirección 𝟒𝒙+𝟐𝒚=𝟏𝟐+𝟏𝟎 𝟔𝒙+𝟑𝒚=𝟗 𝟐𝒙+𝒚=𝟏𝟏 𝟐𝒙+𝒚=𝟑 𝒂 ∥ 𝒃 ⟹ 𝑳 𝟏 ∥ 𝑳 𝟐 PARALELISMO Paralelismo ① 𝒂 =𝒌 𝒃 ② 𝒂 . 𝒃 ⊥ =𝟎 𝟐𝒙+𝒚 =𝟑 −𝟑,𝟔 . (𝟒,𝟐) =−𝟏𝟐+𝟏𝟐 ⟹ 𝑳 𝟏 ∥ 𝑳 𝟐 𝟐𝒙+𝒚 =𝟏𝟏 ③ 𝒂 𝟐 𝒂 𝟏 = 𝒃 𝟐 𝒃 𝟏 𝐿 4 : 12−4𝑥 −8 = 5−5𝑦 5 𝐿 3 :𝑥+2𝑦=9 𝟔𝟎−𝟐𝟎𝒙=−𝟒𝟎+𝟒𝟎𝒚 −𝟐𝟎𝒙−𝟒𝟎𝒚=−𝟒𝟎−𝟔𝟎 𝟐𝟎𝒙+𝟒𝟎𝒚=𝟏𝟎𝟎 ⟹ 𝑳 𝟑 ∥ 𝑳 𝟒 𝒙+𝟐𝒚=𝟓

𝑳 𝟏 :𝒙+𝟐𝒚=𝟐 𝑳 𝟑 :𝟑𝒙+𝒚=𝟒 𝑳 𝟓 :𝟒𝒙−𝟕𝒚=−𝟑 𝑳 𝟕 :𝒙−𝟖𝒚=𝟐 𝑳 𝟐 :𝒙+𝟐𝒚=−2 𝑳 𝟒 :𝟑𝒙+𝒚=𝟔 𝑳 𝟔 :𝟒𝒙−𝟕𝒚=−𝟓 𝑳 𝟖 :𝒙−𝟖𝒚=𝟐 No coinciden o no Están superpuestas No coinciden o no Están superpuestas No coinciden o no Están superpuestas Coinciden o están superpuestas

Otro Método para hallar la Ortogonalidad ORTOGONALIDAD ENTRE RECTAS 𝒂 𝒃 𝐿 1 : 𝑥,𝑦 = 3,1 +𝛼(2,6) 𝐿 2 : 𝑥,𝑦 = 3,2 +𝛼(3,−1) La Ortogonalidad entre rectas lo determinan los vectores dirección 𝒎 𝟏 =𝟑 𝒎 𝟐 =− 𝟏 𝟑 𝒂 ⊥ 𝒃 ⟹ 𝑳 𝟏 ⊥ 𝑳 𝟐 ORTOGONALIDAD 𝒎 𝟏 . 𝒎 𝟐 =𝟑.(− 𝟏 𝟑 ) ① 𝒂 . 𝒃 =𝟎 𝟐,𝟔 . =−𝟏 (𝟑,−𝟏) =𝟔−𝟔 ⟹ 𝑳 𝟏 ⊥ 𝑳 𝟐 ② 𝒎 𝟏 . 𝒎 𝟐 =−𝟏 𝐿 4 : 3−2𝑥 −10 = 𝑦+1 1 𝐿 3 :5𝑥+𝑦=7 Otro Método para hallar la Ortogonalidad 𝑦=7−5𝑥 𝟑−𝟐𝒙=−𝟏𝟎𝒚−𝟏𝟎 𝒎 𝟑 =−𝟓 −𝟐𝒙+𝟏𝟎𝒚=−𝟏𝟎−𝟑 𝟐𝒙−𝟏𝟎𝒚=𝟏𝟑 𝒎 𝟑 . (−𝟓)( 𝟏 𝟓 ) 𝒎 𝟒 = =−𝟏 𝒙−𝟓𝒚= 𝟏𝟑 𝟐 𝒙− 𝟏𝟑 𝟐 =𝟓𝒚 𝟏 𝟓 𝒙− 𝟏𝟑 𝟏𝟎 =𝒚 ⟹ 𝑳 𝟑 ⊥ 𝑳 𝟒 𝒎 𝟒 = 𝟏 𝟓

Posiciones relativas entre rectas Paralelas (𝟑,𝟐) 𝐿 1 : 𝑥,𝑦 = 3,2 +𝛼(−2,4) { } (−4,−2) 2 = (𝟏,𝟏) distancia 𝐿 2 : 𝑥,𝑦 = 2,1 +𝛽(1,−2) { } (2,1) (𝟐,𝟏) = (1,1)(1,−2) (1,−2) = −1 5 Proy 𝐿 2 (1,1) =Proy 𝑎 (1,1) Com𝑝 (1,−2) (1,1) +( 1 5 ) 2 − 1 5 (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎) 2 =( 2 ) 2 ⟹ (𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎) 2 =2 9 5 = 3 5 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎= −𝟒𝒙−𝟐𝒚=−𝟏𝟐−𝟒 𝟐𝒙+𝒚=𝟒+𝟏 𝟒𝒙+𝟐𝒚=𝟏𝟔 𝟐𝒙+𝒚=𝟓 3 𝟐𝒙+𝒚=𝟖 5 (2,1)

Ortogonales No Paralelas 𝟗𝟎 𝟎 𝜶 𝜶 (𝟏,𝟐) 𝒎 𝒄 =(𝟏,𝒎) 𝟐𝒙+𝒚=𝟒 ⟹ 𝒚=𝟒−𝟐𝒙 ⟹ 𝒎 𝟏 =−𝟐 𝒎 𝟐 =− 𝟏 𝟑 𝒙+𝟑𝒚=𝟕 ⟹ 𝟑𝒚=𝟕−𝒙 ⟹ 𝒚= 𝟕 𝟑 − 𝟏 𝟑 𝒙 𝟐𝒙+𝟔𝒚=𝟏𝟒 𝟓𝒚=𝟏𝟎 𝒎 𝟏 . 𝒎 𝟐 =−𝟏 𝒚=𝟐 𝟐𝒙+(𝟐)=𝟒 𝒎 𝟏 = 𝒂 =(𝟏,−𝟐) 𝟐𝒙=𝟐 𝒎 𝟐 = 𝒃 =(𝟏,− 𝟏 𝟑 ) 𝒙=𝟏

ANGULO ENTRE RECTAS 𝑳 𝟐 𝑳 𝟏 α 𝛽= 𝛼 +𝜃 α 𝜷 𝜽 Ángulo de inclinación de la Recta (1) Ángulo de inclinación de la Recta (2) 𝑻𝒂𝒈 𝜷 = Pendiente de la Recta (1) =𝒎 𝟏 𝛼= 𝛽 −𝜃 𝑻𝒂𝒈 𝜽 = Pendiente de la Recta (2) =𝒎 𝟐 = 𝑇𝑎𝑔𝛽−𝑇𝑎𝑔𝜃 1+𝑇𝑎𝑔𝛽.𝑇𝑎𝑔𝜃 𝑇𝑎𝑔 𝛼 = 𝑇𝑎𝑔 ( 𝛽 −𝜃) 𝒎 𝟐 − 𝒎 𝟏 𝟏+ 𝒎 𝟐 . 𝒎 𝟏 𝑇𝑎𝑔 𝛼 =

Sí ; no son ortogonales:𝑻𝒂𝒈𝜶= 𝒎 𝟐 − 𝒎 𝟏 𝟏+ 𝒎 𝟏 . 𝒎 𝟐 Posiciones relativas entre rectas Paralelas 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑐 𝑐−𝑑 distancia 𝑎𝑥+𝑏𝑦=d 𝑎 2 + 𝑏 2 Sí ; no son ortogonales:𝑻𝒂𝒈𝜶= 𝒎 𝟐 − 𝒎 𝟏 𝟏+ 𝒎 𝟏 . 𝒎 𝟐 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑚 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑚 No Paralelas 𝜶 Debe hallar las pendientes y verificar: 𝑚 1 . 𝑚 2 =−1 𝑚𝑥+𝑛𝑦=𝑎 𝑝𝑥+𝑞𝑦=𝑏 Resolviendo el sistema de ecuaciones Ortogonales 𝟗𝟎 𝟎 𝜶

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dada la recta: 2𝑥−𝑦=10. Hallar la distancia del punto A (6,2) a la recta A (3,1) 2(6)−(2)=10 No hay distancia 130 = (𝟑,𝟏𝟏) 2(3)−(1)=10 𝑫 B (0,−10) Proy 𝐿 1 (3,11) =Proy 𝑎 (3,11) =Proy (1,2) (3,11) Pendiente: = (3,11)(1,2) (1,2) = 25 5 Comp (1,2) (3,11) 2𝑥−𝑦=10 𝑫= 𝟐𝟓 𝟓 +( 25 5 ) 2 − 625 5 2𝑥−10=𝑦 = 𝟓 (𝐷) 2 =( 130 ) 2 (𝐷) 2 =130 𝒎 𝟏 =𝟐 𝒂 =(𝟏,𝟐) 𝟐𝒙−𝒚=𝟏𝟎 ⟹ 𝟐𝒙−𝒚−𝟏𝟎=𝟎 ⟹ 𝟐(𝟑)−(𝟏)−𝟏𝟎 =𝟓 𝟓 (𝟐,−𝟏)