Las distancias en el espacio

Presentación del tema: "Las distancias en el espacio"— Transcripción de la presentación:

1 Las distancias en el espacio
Problemas métricos Las distancias en el espacio

2 Para hallar la distancia de un punto a una recta se pueden seguir los pasos siguientes:
Se halla el plano que contiene al punto y es perpendicular a la recta. Se halla el punto de corte de la recta con el plano. La medida buscada es la distancia entre los dos puntos.

3 También puede calcularse con ayuda del producto vectorial.
Se elije un punto A en la recta r

4 Para hallar la distancia entre dos rectas utilizamos la siguiente regla:
Si se cortan o coinciden, la distancia es 0. Si son paralelas, se toma un punto de una de ellas y se halla la distancia a la otra recta. Si se cruzan entonces es más complicado: Se toma un punto genérico de cada recta. Imponemos que el vector que une los dos puntos sea perpendicular a las dos rectas. Hallamos los dos puntos, uno de cada recta, que están más cercanos. La distancia entre ellos es la distancia entre las rectas.

5 Se puede hallar la distancia entre dos rectas que se cruzan con ayuda de los dos productos:
Se toma un punto en cada una de las rectas y el vector que los une. Se forma el paralelepípedo determinado por los vectores de dirección de las rectas y el vector anterior:

6 Para hallar la distancia de un punto a un plano:
Hallamos la recta que pasa por el punto y es perpendicular al plano. Hallamos el punto de corte entre la recta y el plano. La medida que se busca es la distancia entre los dos puntos.

7 Disponemos de una fórmula para calcular la distancia de un punto a un plano:
Conocemos la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0 Y las coordenadas del punto P = (x0, y0, z0)

8 Si tenemos una recta y un plano:
Si tenemos dos planos: Si se cortan o coinciden, la distancia entre ellos es 0. Si son paralelos, tomamos un punto de uno de ellos y hallamos la distancia al otro plano. Si tenemos una recta y un plano: Si la recta corta al plano o está incluida en él, la distancia es 0. Si la recta es paralela al plano, tomamos un punto cualquier de la recta y hallamos la distancia al plano.

9 Un punto es simétrico de otro respecto a un punto cuando éste último es el punto medio del segmento formado por los otros dos. Para hallar el simétrico de un punto respecto de una recta o un plano, hallamos el punto más cercano (sobre la perpendicular) de ese elemento y hallamos el otro extremo del segmento en el que ese punto último es el punto medio.

10 Para hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan se sigue el mismo procedimiento que para hallar la distancia entre ellas. Hallamos los puntos más cercanos y trazamos la recta que pasa por esos puntos. También la podemos determinar como la intersección de dos planos cada uno conteniendo a una de las rectas y al producto vectorial de los dos vectores de dirección.