Cálculo Diferencial e Integral Integración por Sustitución Trigonométrica Área Académica: Ingeniería Mecánica Profesor(a): M. en C. Yira Muñoz Sánchez Dr. Martín Ortíz Domínguez Periodo: Enero – Junio 2015

Cálculo Diferencial e Integral Resumen En este material se presenta el proceso de integración por sustitución trigonométrica y algunos ejemplos. Abstract This material presents trigonometric substitution process with some examples. Keywords: trigonometric substitution, integration.

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (1) Caso I: 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 𝒖=𝒂 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝑎>0 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 =𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Donde c− 𝜋 2 ≤ 𝜃≤ 𝜋 2 𝒖 𝒂 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 𝜃

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (2) 𝒂 𝟐 − 𝒙 𝟐 = 𝒂 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 = 𝒂 𝟐 (𝟏− 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽) =𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 =𝒂|𝒄𝒐𝒔 𝜽| =𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝜽

Ejemplo1 (1) Hallar: 𝑑𝑥 𝑥 2 9− 𝑥 2 Solución: 𝑥=𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝜃=3 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝒅𝒙=𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝟗− 𝒙 𝟐 =3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝒙 𝟐 =9 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝑥 3 9− 𝑥 2 𝜃

Ejemplo1 (2)

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (3) Caso II: 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 𝒖=𝒂 𝒕𝒈𝜽 𝑎>0 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 =𝒂 𝒔𝒆𝒄 𝜽 Donde c− 𝜋 2 ≤ 𝜃≤ 𝜋 2 𝒂 𝟐 + 𝒖 𝟐 𝒖 𝜃 𝒂

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (2) 𝒂 𝟐 + 𝒙 𝟐 = 𝒂 𝟐 + 𝒂 𝟐 𝒕𝒈 𝟐 𝜽 = 𝒂 𝟐 (𝟏+ 𝒕𝒈 𝟐 𝜽) =𝒂 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝜽 =𝒂|𝒔𝒆𝒄 𝜽| =𝒂 𝒔𝒆𝒄𝜽

Ejemplo2 (1) Hallar: 𝟐+ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 Solución: 𝑥=𝑎 𝑡𝑔 𝜃= 2 𝑡𝑔 𝜃 𝑥=𝑎 𝑡𝑔 𝜃= 2 𝑡𝑔 𝜃 𝒅𝒙= 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃 𝟐+ 𝒙 𝟐 = 2 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑥 2 2+ 𝑥 2 𝜃

Ejemplo2 (2)

Ejemplo2 (3)

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (4) Caso III: 𝒖 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝒖=𝒂 𝒔𝒆𝒄𝜽 𝑎>0 𝒖 𝟐 − 𝒂 𝟐 =±𝒂 𝒕𝒈 𝜽 0 ≤ 𝜃< 𝜋 2 o 𝜋 2 ≤ 𝜃<𝜋 𝒖 𝒂 𝟐 − 𝒖 𝟐 𝜃 𝒂

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA (2) 𝒙 𝟐 − 𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟐 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝜽− 𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟐 ( 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝜽−𝟏) =𝒂 𝒕𝒈 𝟐 𝜽 =𝒂|𝒕𝒈 𝜽| NOTA: La tangente puede tomar valores positivos o negativos

Ejemplo3 (1) La tangente será positiva en los intervalos: Se podrá tomar: Entonces:

Ejemplo3 (2) Hallar: 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2 −9 Solución: 𝑥=3 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝒅𝒙=3 sec 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑑𝜃 𝟗 𝟐 − 𝒙 𝟐 =3 𝑡𝑔 𝜃 𝑥 3 𝑥 2 −9 𝜃

Ejemplo3 (3) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 2 −9 = 3 sec 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑑𝜃 (3 𝑠𝑒𝑐 𝜃 )(3 𝑡𝑔 𝜃 ) = 1 3 𝑑𝜃 = 1 3 𝜃 = 1 3 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝟑 +𝑪

Referencias LARSON E. R., HOSTETLER R.P., EDWARDS B. H., Cálculo y Geometría Analítica, Sexta Edición, Volumen 1, Mc Graw Hilll. STEWART J. , Introducción al Cálculo, Thomson STEWART J. , Calculus. Early Trascendentals, Sixth Edition, Thomson