Cálculo Diferencial e Integral Clase 8 – Funciones Inversas y Trigonométricas María Elena García Ellen Méndez José.

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1 Cálculo Diferencial e Integral Clase 8 – Funciones Inversas y Trigonométricas María Elena García mgarcia@pol.una.py Ellen Méndez emendez@pol.una.py José A. Riveros jriveros@pol.una.py

2 Función inversa 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 2 Si la función creciente o decreciente es continua en el intervalo [a, b], siendo entonces la función inversa estará definida y será continua en el intervalo [c, d] a 0 y x y1 y2 x1 x2 y=f(x) b

3 Derivada de la función inversa 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 3 Teorema: Si para la función existe una función inversa, tal que en un punto y dado tenga una derivada,, distinta de cero, entonces la función, tiene en el punto correspondiente, x, una derivada,, igual a, es decir, se verifica la fórmula Demostración: Si tomamos como variable independiente a y, hallando la deriva de la función respecto a la variable x, tendremos: De donde:

4 Derivada de la función inversa 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 4 Interpretación geométrica M(x,y ) x y 0 Para De donde, Es decir,

5 Derivada de las funciones trigonométricas 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 5 Teorema: La derivada de la función es igual a es decir si, será Demostración: Siendo, hallamos la derivada de la función, será: Por el teorema de la derivación de la función inversa, y sabiendo que la inversa de la función es: Sabemos que: Reemplazando por su valor, de donde es: La raíz se toma con signo positivo, ya que la función se define en el intervalo y por lo tanto será

6 Derivada de la función trigonométrica “arcsenx” 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 6

7 Derivada de las funciones trigonométricas 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 7 Teorema: La derivada de la función es igual a es decir si, será Demostración: Siendo, hallamos la derivada de la función, será: Por el teorema de la derivación de la función inversa, y sabiendo que la inversa de la función es: Sabemos que: Reemplazando por su valor, de donde es: La raíz se toma con signo positivo, ya que la función se define en el intervalo y por lo tanto será

8 Derivada de la función trigonométrica “arccos x” 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 8

9 Derivada de las funciones trigonométricas 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 9 Teorema: La derivada de la función es igual a es decir si, será Demostración: Siendo, hallamos la derivada de la función, será: Por el teorema de la derivación de la función inversa, y sabiendo que la inversa de la función es: Pero: Reemplazando por su valor, será:

10 Derivada de la función trigonométrica “arctg x” 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 10

11 Derivada de las funciones trigonométricas 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 11 Teorema: La derivada de la función es igual a es decir si, será Demostración: Siendo, hallamos la derivada de la función, será: Por el teorema de la derivación de la función inversa, y sabiendo que la inversa de la función es: Reemplazando por su valor, será:

12 Derivada de las funciones trigonométricas - Ejercicios. 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 12 1) 2) 3) 4)

13 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 13 Bibliografía Anton, Howard Cálculo y geometría Analítica. Vol I y II. Editorial Limusa. Apóstol, Thomas. Calculus. Tomos I y II. Ayres, Frank Jr. Mendelson Elliot. Cálculo Diferencial e integral. Schaum Demidovich B. Problemas y ejercicios de análisis matemático. Paraninfo. Edwards y Penney. Cálculo con Geometría Analítica. 4ta. Edición. Pearson.Prentice-Hall Farrand, Scott. Cálculo. Finney, Demana, Waits, Kennedy Cálculo de una variable. Prentice - Hall Granero Francisco. Calculo infinitesimal. McGraw-Hill Hoffman y Bradley. Cálculo. Aplicaciones. Mc Graw-Hill http://math.exeter.edu/rparris (Software Winplot) Johnson, R.E./Kiokemeister, F.L. Cálculo con Geometría Analítica.

14 Bibliografía(2) Larson / Hostetler / Edwards. Cálculo. Volumen I y II. Mc Graw-Hill. Pastor, Calleja, Trejo. Análisis Matemático. Piskunov, N. Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simon S.A. Protter / Morrey. Cálculo y Geometría Analítica. Purcell, Varbeg, Rigdon. Cálculo. Prentice –Hall Simmons, George. Cálculo y Geometría Analítica. 2da. Edición. McGraw-Hill Smith, Robert T./Minton, Roland B. Cálculo. McGrawHill Spivak, Michael. Calculus. Cálculo infinitesimal. Segunda Edición. Ed. Reverté Stein Sherman K. Cálculo y Geometría Analítica. McGraw-Hill Stewart, James Cálculo de una Variable trascendentes tempranas. Ed. Thomson Swokowski, Earl W. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. Thomas, George B. Jr. Cálculo una variable. 11 edición. Pearson-Addison Wesley. 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 14

15 Enlace de interés http://hilbert.dartmouth.edu/~m3f02/ http://www.math.harvard.edu Universidad de Harvard http://math.smith.edu/Local/cicintro/cicintro.html/ http://king.mcs.drexel.edu/~hanton/ http://www.mathcentre.ac.uk/staff.php/all_subjects/graphs/simple/ http://www.learner.org/channel/courses/learningmath/algebra/session5/index.html http://math.exeter.edu/rparris(Universidad de Exeter, Inglaterra) http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Analisis/Funciones_polinomicas/ http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Analisis/Funciones_elementales/unidad3.htm http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/Dominio_definici on_funcion_1.htm http://www.geocities.com/cscience_sky/composicionfunciones.htm http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_03/cap3_3-1.html http://166.114.156.239/teoria&practicos/MT120%2002%20L%CDMITES%20LATERALES.doc http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D111 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D121 http://www.geocities.com/cscience_sky/funcionestrigonometricas.htm http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D112 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D113 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D114 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D141 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1D1A1 http://www.okmath.com/enuncia.asp?clave=1J51 26/09/2016M.E. García, E. Méndez, J.A. Riveros 15