Apuntes 2º Bachillerato C.S. MATEMÁTICAS A. CS II Tema II Matrices @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

OPERACIONES: PRODUCTO DE MATRICES TEMA 2.3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. PRODUCTO DE MATRICES Para multiplicar una matriz fila de tamaño 1xn por una matriz columna de tamaño nx1, se van multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados parciales, de modo que el resultado final es un número real. Ejemplo_1 d ( a b c ) e = a.d + b.e + c.f f Ejemplo_2 4 4.2 4.5 4.(-7) 8 20 -28 -3 ( 2 5 -7 ) = -3.2 -3.5 -3.(-7) = -6 -15 21 1 1.2 1.5 1.(-7) 2 5 -7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Producto: DEFINICIÓN Dadas dos matrices A y B de tamaño mxn y nxp respectivamente, dos matrices en que el nº de columnas de la 1ª coincide con el nº de filas de la 2ª, se llama matriz producto A.B a una nueva matriz en la que el elemento de lugar (i,j) se obtiene multiplicando la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. El resultado es una matriz de tamaño mxp. a d . b e c f 2a+3b+4c 2d+3e+4f = 5a+6b+7c 5d+6e+7f 2 3 4 5 6 7 Una matriz [2x3] multiplicada por otra [3x2] da por resultado una [2x2] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplos 2 -3 -5 6 -1 . 4 2(-1)+(-3).4 = -5(-1)+6.4 -14 = 29 2 -3 -5 6 -1 2 . 4 3 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3 = -5(-1)+6.4 -5.2+6.3 -14 -5 = 29 8 -1 2 . 4 3 2 -3 = 2(-1)+(-3).4 2.2+(-3).3 = -14 -5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Más ejemplos -1 . 4 2 2 -3 0 -5 6 1 2(-1)+(-3).4+0.2 = -5(-1)+6.4+1.2 -14 = 31 1 -2 0 3 -4 1 -1 2 . 4 3 1.(-1)+(-2).4 1.2+(-2).3 = 0.(-1)+3.4 0.2+3.3 (-4).(-1)+1.4 (-4).2+1.3 -9 -4 = 12 9 8 -5 1 0 -1 0 1 3 -1 1 0 5 . 7 4 5+0–4 = 0+7+12 -5+7+0 1 = 19 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Último ejemplo El producto de matrices NO es conmutativo: A.B <> B.A Sea la matriz A [2x3] y la matriz B [3x2] -1 2 . 4 3 -2 -5 2(-1)-3.4+4(-2) 2.2-3.3+4(-5) = -5(-1)+6.4-1(-2) -5.2+6.3-1(-5) -22 -25 = 31 13 2 -3 4 -5 6 -1 -1 2 4 3 . -2 -5 -2-10 3+12 -4-2 = 8-15 -12+18 16-3 -4+25 6-30 -8+5 -12 15 -6 = -7 6 13 21 -24 -3 2 -3 4 -5 6 -1 Como se puede observar los resultados son distintos: A.B = [2x2] y B.A = [3x3] @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Propiedades del PRODUCTO Asociativa: A.(B.C) = (A.B).C (En ocasiones hay que multiplicar entre sí más de dos matrices) No es conmutativa: A.B <> B.A (Muy importante en las operaciones con matrices) Tiene elemento neutro (La matriz unidad, I). (La matriz I es siempre cuadrado, presenta todos unos en la diagonal principal y los demás elementos son ceros) Distributiva respecto a la suma: A.(B+C) = A.B+A.C (Hay que tener presente que A.(B+C) <> (B+C).A , en general.) Elemento inverso: Sólo las cuadradas pueden tenerlo, y no siempre. (Imprescindible para poder dividir matrices. Si A.B = C, nos dan A y C, para hallar B tenemos: B=C / A = (1 / A).C , donde 1/A es la matriz inversa de A.) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo PROPIEDAD ASOCIATIVA: A.(B.C) = (A.B).C 1 1 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 = 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 . 2 1 1 1 0 1 4 1 . 6 7 3 5 = 4 3 0 1 . 2 1 10 8 6 7 10 8 = 6 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejemplo PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: A.(B+C) = A.B+A.C 1 1 0 1 -1 2 . 4 3 0 1 + 2 1 1 1 = 0 1 -1 2 . 4 3 1 1 + 0 1 0 1 . 2 1 1 1 0 1 -1 3 . 6 4 3 5 = 4 3 2 2 + 2 1 5 7 6 4 5 7 = 6 4 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Otro ejemplo de propiedad anticommutativa del producto 8 17 = 26 53 1 2 A.B = 4 5 . 4 7 2 5 32 43 = 22 29 4 7 B.A = 2 5 . 1 2 4 5 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. POTENCIA DE UNA MATRIZ A2 = A.A A3 = A2 .A A4 = A3 .A An = An – 1 . A En todos los casos los valores de los términos del resultado siguen una ley de formación, una serie. 1 0 Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz A = 1 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Ejemplo de potencias de matrices Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = 1 1 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 1 1 1 2 1 3 1 0 1 0 1 0 A = = 2 1 1 1 3 1 4 n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Otro ejemplo de potencias Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 1 0 A = 2 1 0 1 0 1 0 A = = 1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 1 0 A = = 1 0 1 0 1 0 4 n ¿Qué valdrá A ? ¿ Y A ? @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Otro ejemplo de potencias Ejemplo: Calcular las potencias de la matriz 0 1 A = 1 0 2 0 1 0 1 1 0 A = = 1 0 1 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 A = = 0 1 1 0 1 0 4 ¿Qué valdrá A ?  Lo mismo que A n ¿ Y A ?  A si n es par, e I si n es impar @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.