Tema XIII Aplicaciones de derivadas MATEMÁTICAS II Tema XIII Aplicaciones de derivadas @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. APLICACIONES Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos relativos. Problemas de optimización. Curvatura y puntos de inflexión de una función. Estudio del dominio, de los puntos de corte, de las regiones de existencia, de la simetría, periodicidad y asíntotas de una función. Representación gráfica de algunos tipos de funciones. EJERCICIOS DEL LIBRO PROBLEMAS DEL LIBRO @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS TEMA 8.1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. DOMINIO Y RECORRIDO DOMINIO de f(x): Todos los valores de x para los que existe la función. Se denota por Dom f(x) = ... En las funciones polinómicas el dominio es R. En las funciones racionales el dominio es R – [a, b, c, ...], siendo a, b, c, .. los puntos de asíntotas verticales. RECORRIDO de f(x): Todos los valores que puede tomar f(x). Se denota por Img f(x) = ... En las funciones lineales el recorrido es R. En las funciones cuadráticas el recorrido es (-oo, yv] ó (yv , oo), según sea convexa o cóncava. En las funciones cúbicas el recorrido es R. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. CORTES CON LOS EJES Corte con el eje OY: x = 0  y = f (0) Pc ( 0, f(0) ) Corte con el eje OX: f(x) = 0  xi = Raíces de la función f(x) Si una función presenta cortes con el eje OX en los puntos x=a, x=b, x= c, etc , se establecen zonas o regiones donde el signo de la función es el mismo: (- oo, a) , (a, b) , (b, c) , (c, ...) , …, ( k, +oo) Si una función es positiva / negativa en un punto xo c (a, b) , siendo a y b puntos de corte con el eje OX, la función será positiva / negativa en todos los puntos del intervalo ( a, b ). @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. SIMETRÍAS Una función f es simétrica respecto al eje OY si se cumple: f(x) = f( - x) Diremos entonces que presenta una simetría PAR. Una función f es simétrica respecto al origen (0, 0) si se cumple: f(x) = - f( - x) Diremos entonces que presenta una simetría IMPAR. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PERIODICIDAD Una función f se dice que es periódica y de periodo P si cumple estas tres condiciones: * Si x ε Dom f(x)  (x+P) ε Dom f(x) * f(x) = f(x+P) * P es el menor número real que cumple las anteriores condiciones. P P @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MONOTONÍA Una función f es CRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) < f(x2) Una función f es DECRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) > f(x2) Una función f es CRECIENTE / DECRECIENTE en un punto xo c (a, b) si y sólo so existe un entorno simétrico de xo en el cual la función es CRECIENTE / DECRECIENTE. TEOREMA Sea f una función definida en ( a, b) y xo c (a, b). Entonces: Si f ‘ (xo) > 0 la función es estrictamente CRECIENTE en xo. Si f ‘ (xo) < 0 la función es estrictamente DECRECIENTE en xo. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Una función f tiene un máximo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) < f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. Una función f tiene un mínimo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) > f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno. TEOREMA Si f tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces f ‘ (x) = 0 Sea f una función definida en (a, b) y con derivada segunda en este intervalo y sea xo c (a, b) tal que f ‘ (xo) = 0 Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO. Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. CURVATURA Sea f una función que tiene al menos segunda derivada. En ese caso: Si f “ (x) < 0, para todo x c ( a, b)  f es CONVEXA en (a, b) Si f “ (x) > 0, para todo x c ( a, b)  f es CÓNCAVA en (a, b) Si una función f presenta en x=xo una segunda derivada nula, f “ (xo) = 0, entonces en dicho punto la función no es ni cóncava ni convexa. Cóncava Cóncava PI Convexa @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PUNTOS DE INFLEXIÓN Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa. Si f presenta un punto de inflexión en x=xo  f “ (xo) = 0 Pero si se cumple que f “(xo) = 0, no siempre en x= xo hay un P.I. TEOREMA Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ASÍNTOTAS La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si: Lím f(x) = ± oo x a La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si: Lím f(x) = b x ± oo La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si: f(x) Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n x ± oo x x± oo @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

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