Ecuaciones cuadráticas Lección 3

Definición Una ecuación cuadrática en x es una ecuación que se puede escribir de la forma ax2 + bx + c = 0 , donde a ≠ 0 . Ejemplos: 4x2 = 8 – 11x x(3 + x) = 5 4x = x2 2

Factorización Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios. Producto = 𝑥 2 +6𝑥+3𝑥+18 = 𝑥 2 +9𝑥+18 Factorización 𝑥+3 𝑥+6 =𝑥 𝑥+6 +3(𝑥+6) 𝑥 2 +9𝑥+18=𝑥 2 +3𝑥+6𝑥+18=(𝑥+3)(𝑥+6) 3

Factorización Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios. Producto = 𝑥 2 +2𝑥−7𝑥−14 = 𝑥 2 −5𝑥−14 Factorización 𝑥−7 𝑥+2 =𝑥 𝑥+2 −7(𝑥+2) 𝑥 2 −5𝑥−14=𝑥 2 +2𝑥−7𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2) 4

Factorización Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios. Producto = 𝑥 2 +2𝑥−7𝑥−14 = 𝑥 2 −5𝑥−14 Factorización 𝑥−7 𝑥+2 =𝑥 𝑥+2 −7(𝑥+2) 𝑥 2 −5𝑥−14=𝑥 2 +2𝑥−7𝑥−14=(𝑥−7)(𝑥+2) 5

Factorización Invierte el proceso de buscar el producto de dos binomios. Producto =6 𝑥 2 +10𝑥−9𝑥−15 = 6 𝑥 2 +𝑥−15 Factorización 2𝑥−3 3𝑥+5 = 2𝑥 3𝑥+5 −3(3𝑥+5) 6𝑥 2 +𝑥−15=6𝑥 2 +10𝑥−9𝑥−15 =2𝑥 3𝑥+5 −3(3𝑥+5) =(2𝑥−3)(3𝑥+5) 6

Resolver mediante factorización Si ax2 + bx + c se puede escribir como el producto de dos expresiones lineales, entonces la solución de la ecuación se puede encontrar igualando cada factor a cero y resolviendo cada ecuación lineal. 7

Resolver ecuaciones cuadráticas Usando el ejemplo anterior: Resolver: 6𝑥 2 +𝑥−15 =0 6𝑥 2 +𝑥−15=0 2𝑥−3 3𝑥+5 =0 2𝑥−3 =0 3𝑥+5 =0 2𝑥=3 3𝑥=−5 𝑥= 3 2 𝑥= −5 3 8

Ejemplo Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x . El método AC La ecuación es cuadrática y sigue el modelo ax2 + bx + c = 0 con a=3 b = 1 y c = -10. La ecuación se puede factorizar si existen factores de AC = -30 que sumen b = 1. Los factores son 6 y – 5 . 9

Ejemplo Resolver la ecuación 3x2 = 10 – x . Usando los factores son 6 y – 5 .     10

Ejemplo Resolver la ecuación 8x2 – 12= 4x .   Notar que primeramente debemos el factor común de 4.   El método AC La ecuación es cuadrática y sigue el modelo ax2 + bx + c = 0 con a = 2 b = -1 y c = - 3 . La ecuación se puede factorizar si existen factores de AC = -6 que sumen b = -1. Los factores son 2 y – 3 . 11

Ejemplo   Usando los factores son 2 y – 3 .           12

Ejemplo Resolver la ecuación x2 + 16 = 8x . Cómo x – 4 aparece como factor , llamamos a 4 una raiz doble o raiz de multiplicidad 2 de esta ecuación. 13

Una Ecuación Cuadrática Especial Si x2 = d , entonces la factorización de x2 – d gives Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática x2 = 5 son Resolver: (x + 3)2 = 5 14

Una Ecuación Cuadrática Especial Resolver: 2 (x + 5)2 = 32 (x + 5)2 = 16 𝑥+5 =± 16 𝑥+5 =±4 𝑥=−5±4 𝑥=−5+4 𝑥=−5−4 𝑥=−1 𝑦 𝑥=−9 15

La Fórmula Cuadrática Para resolver la ecuación cuadrática general: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 . Fórmula cuadrática: 16

El Discriminante El número representado por la expresión b2 – 4ac . El discriminante indica de qué tipo son las raices de una ecuación cuadrática. 17

Fórmula Cuadrática Resolver: 𝒙= 𝒙= 𝒙= 18

Ejemplo Resolver la ecuación 2x2 – 1 = 3x. 2 𝑥 2 −3𝑥−1=0 Método AC: a=2, b= - 3 , c = -1 La ecuación factoriza si existen factores de ac = -2 que sumen b= -3 Los factores de -2 son (-2 x 1) ó (2 x -1) NO existen factores de -2 que sumen -3 La ecuación no factoriza como el producto de dos factores lineales con coeficientes racionales NO existe una solución RACIONAL. 19

Ejemplo Encontrar todos los ceros reales de: 2x2 – 1 = 3x. Resolver: 2 𝑥 2 −3𝑥−1=0 a=2, b= - 3 , c = -1 Usar la fórmula cuadrática. 𝑥= 3± 9+8 4 𝑥= −(−3)± (−3) 2 −4∙2∙−1 2(2) 𝑥= 3± 17 4 20

Fórmula Cuadrática Resolver: 2x2 – 4x – 3 = 0 21

La Fórmula Cuadrática Determinar si la ecuación dada tiene raices reales o no: 9x2 + 12x + 4 = 0 3x2 + 4x + 2 = 0 x2 + 2x – 1 = 0 22

Ecuaciones de tipo cuadrático Una ecuación es del tipo cuadrático si se puede escribir de la forma au2 + bu + c = 0 , donde a ≠ 0 y u es una expresión en alguna variable. 23

Ecuaciones de tipo cuadrático Por ejemplo: 𝑥 4 −5 𝑥 2 +4=0 es del 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑜 por que si u= 𝑥 2 , entonces se puede escribir 𝑢 2 −5 𝑢 2 +4=0 y resolver. Resolver: 𝑥 4 −5 𝑥 2 +4=0 24

Ecuaciones de tipo cuadrático Resolver: 𝑥 4 −5 𝑥 2 +4=0 Sea u= 𝑥 2 , entonces se puede escribir 𝑢 2 −5 𝑢 2 +4=0 y resolver. 𝑢 2 −5 𝑢 2 +4= 𝑢−4 𝑢−1 𝑢−4 𝑢−1 =0 u=4 u=1; resolvimos primero por u u = 4 x2=4𝑥=± 4 =±2 u = 1 x2=1𝑥=± 1 =±1 25

Ecuaciones de tipo cuadrático Resolver: 𝑥 4 −5 𝑥 2 +4=0 Sea u= 𝑥 2 , entonces se puede escribir 𝑢 2 −5 𝑢 2 +4=0 y resolver. 𝑢 2 −5 𝑢 2 +4= 𝑢−4 𝑢−1 𝑢−4 𝑢−1 =0 u=4 u=1; resolvimos primero por u u = 4 x2=4𝑥=± 4 =±2 u = 1 x2=1𝑥=± 1 =±1 26

Ecuaciones de tipo cuadrático Encontrar soluciones reales de 256𝑥 4 −625=0 Sea u= 16𝑥 2 , entonces se puede escribir 𝑢 2 − 25 2 =0 y resolver. 𝑢 2 − 25 2 = 𝑢+25 𝑢−25 =0 u=25 u = -25; resolvimos primero por u Si u= 2516 x2=25𝑥=± 25 16 =± 5 4 u = -25 16x2= -25𝑥=± −25 16 NO es real. 27