Problemas de optimización.

Habilidades Identifica los tipos de problemas de optimización. Resuelve problemas de optimización, siguiendo instrucción heurística.

Pasos para la solución Pasos para la solución de problemas de optimización Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita? ¿cuáles son las cantidades dadas? ¿cuáles son las condiciones dadas? Dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas y requeridas. Introducir una notación. Asignar símbolos a la cantidad que se va a maximizar o minimizar y a las cantidades descono- cidas. Relacionar las cantidades conocidas y desconocidas median- ecuaciones. Eliminar variables hasta expresar la cantidad requerida en términos de una variable. Aplicar los métodos estudiados para hallar el máximo o el mínimo absoluto de la cantidad requerida.

Problemas Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a o largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Área x y

Prueba de la primera derivada Prueba de la primera derivada para valores extremos absolutos Sea c un punto crítico de una función continua f definida sobre un intervalo abierto. Si f ’(x) > 0 para todo x < c y f ’(x) < 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor máximo absoluto de f. Si f ’(x) < 0 para todo x < c y f ’(x) > 0 para todo c < x, entonces f (c) es el valor mínimo absoluto de f.

Problemas Se va a producir una lata cilíndrica para que contenga 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo del metal para producir la lata. h r Costo

Algunas combinaciones Radio (cm) Altura (cm) 2 79.6 4 6 8 19.9 8.86 4.97 10 3.18

Latas de un litro r = 2 r = 4 r = 6 r = 8 r = 10

Fabricación de la lata r 2pr h r

Usando Derive para ver la gráfica Material requerido r (cm) 2 h (cm) 79.60 S (cm2) 1025 4 6 8 10 600 560 652 828 8.84 4.97 3.18 19.90 S(r) = 2000/r + 2pr2 Usando Derive para ver la gráfica

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA VARIABLE Se tratan de problemas en lo cuales se desea encontrar la solución optima Una o más ecuaciones de enlace Una función objetivo Un intervalo de decisión

Problemas Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido como le sea posible. Podría remar en su bote, cruzar el río directamente hasta el punto C y correr hasta B; podría remar hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D, entre C y B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km|h y correr a 8 km|h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan pronto como sea posible? A C D B 8 km 3 km Tiempo

Problemas Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. (x,y) x y O r -r 2x Área visualcalculus

Problemas Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. O r rcosΘ rsenΘ Θ Área

Problemas Encuentre el punto sobre la parábola y2=2x más cercano al punto (1; 4). x 2 Distancia

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 4.7 Ejercicios 4.7 pág 334: 7, 8, 11, 12, 15, 17.