Área : Aritmética Tema 7: Números con signo Multiplicación y División

NÚMEROS ENTEROS Ante las limitaciones que presenta el sistema de números naturales (N) se hizo necesario crear un sistema de numeración más amplio que nos permita representar numéricamente muchas cosas como por ejemplo: Una deuda Una temperatura bajo cero Un saldo en contra

Para solucionar este problema aparecen los números enteros (Z), que pueden ser positivos o negativos.

Números enteros Recta Numérica Comparación y Orden Valor Absoluto Adición y Sustracción Multiplicación División Salir

¿ Qué significa “un saldo en contra” ? NÚMEROS ENTEROS Jesús tiene un saldo en contra de $800.00 en una caja de ahorro. Cierto día hace un depósito de $1,200.00 y a la siguiente semana retira $200.00, ¿Cuál es su estado de cuenta? ¿ Qué significa “un saldo en contra” ? Saldo en Contra Depósito Retiro Nuevo Saldo - 800 + 1200 - 200

Los que llevan signo más son enteros positivos: +3, +10, +2. Los números con signo como –800, +1200, -200 se llaman números con signo (números enteros). Los que llevan signo más son enteros positivos: +3, +10, +2. Los que llevan signo menos son enteros negativos: -2, -5, -8. El cero es un entero que no es positivo, ni negativo.

Conjunto de los números enteros - 4 - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 + 4 Enteros Negativos Enteros Positivos

Aplicaciones de números enteros en la vida diaria. 10° bajo cero 10° sobre cero Bajar 3 pisos Subir 3 pisos Volar a una altura de 8000 m sobre el nivel del mar. Bucear a una profundidad de 10 m.

4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 Sobre el nivel del mar Bajo el nivel del mar

Termómetro RECTA NUMÉRICA Igual que los números naturales, decimales y fracciones los números con signo se pueden representar en una recta. Termómetro

3 7 1 2 2.5 - 3.5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 El origen, 0 punto inicial, es el numero 0. Hacia la derecha del 0 se tienen los números positivos, y hacia la izquierda los números negativos.

ORDEN Y COMPARACIÓN Un número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo. Un número negativo es menor que cero y que cualquier número positivo.

La recta numérica te permite observar que entre dos números es mayor el que esta a la derecha del otro. - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 - 2 > - 3 3 > 2

VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número con signo es el valor de dicho número sin su signo. - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 3 unidades 3 unidades

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero. Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así: + 3 = 3 -3 = 3

ADICIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO En el siguiente cuadro se registran los depósitos y retiros que hizo el Sr. Pérez en su cuenta bancaria en 8 semanas. Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 Depósito 2500 800 400 1200 Retiro - 500 - 400 - 700 - 900

¿Cuál es su saldo al término de la octava semana? Haz una estimación del total que depósito. Luego una del total que retiro. Finalmente estima su saldo (la cantidad que le quedó a favor o en contra).

Procedimiento para sumar números con signo La adición de números con signo se realiza de la manera siguiente: Si tienen igual signo. Se suma el valor absoluto de los sumandos. El signo de la suma es el de los sumandos. (+ 6 ) + (+ 9 ) = + 15 signo igual signo igual (- 3 ) + (- 7 ) = - 10

¿ Cómo podemos calcular el resultado de esta suma ? ( +8 ) + ( -3 ) + ( +5 ) + ( -6 ) + ( +3 ) = ( +16 ) + ( -9 ) = + 7 Para sumar varios números enteros de distinto signo: Se suman varios números enteros de distinto signo por un lado, y los negativos, por otro. s Por último se suman el número positivo y el número negativo obtenidos.

¿Con cuál de las siguientes restas se resuelve el problema? SUSTRACCIÓN La temperatura hace 2 horas fue de – 1° C. Ahora es de + 4° C. ¿Qué tanto cambió la temperatura? ¿ Cuánto cambió la temperatura? ¿Con cuál de las siguientes restas se resuelve el problema? 4 - (- 1) - 4 - (- 1) 4 - (+ 1)

Si tiene distinto signo: Calculamos la diferencia de sus valores absolutos. El signo de la diferencia es el del sumando de mayor valor absoluto. (+ 9 ) + (- 3 ) = + 6 signo distinto (- 8 ) + (+ 2 ) = - 6 signo distinto

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO Cambiamos la operación de sustracción a adición. Cambiamos el signo del sustraendo. (+ 5) – (- 7) = (+ 5) + (+ 7) = 12 Inversos aditivos (-6) – (+4) = (-6) + (-4) = -10

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO Rocío ahorra cada día $ 50. ¿Cuánto ahorra en 8 días? (+ 50) Cada día ahorra $50 En 8 días ( + 8 ) ( +50 ) ( +8 ) = + 400

Marcia gasta en su almuerzo $ 15 cada día. ¿Cuánto gasta en 5 días? Cada día gasta $15 ( -15 ) ( + 5 ) En 5 días ( -75 ) Gasta ( - 15 ) ( + 5 ) = - 75

¿Cuánto ahorra en total? Ana Luz se gasta $ 35 cada domingo en la entrada al cine. Deja de ir 4 domingos. ¿Cuánto ahorra en total? ( -35 ) Gasta $35 Deja ir 4 domingos ( -4 ) Ahorra ( +140 ) ( - 35 ) ( - 4 ) = + 140

Multiplicación La multiplicación de números enteros o números con signo se indica encerrando dentro de parentésis a cada factor sin que exista signo entre ellos.

Para obtener el producto es necesario primero un manejo de signos y después multiplicar los valores absolutos de los números que estan como factores.

( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + Con dos factores Con tres factores ( + ) ( + ) = + ( + ) ( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + ( + ) ( + ) ( - ) = - ( + ) ( - ) = - ( + ) ( - ) ( - ) = + ( - ) ( + ) = - ( - ) ( - ) ( - ) = -

( + 4 ) ( + 2 ) = + 8 ( - 4 ) ( - 2 ) = + 8 ( + 1 ) ( - 2 ) = - 8 El producto de dos números de igual signo es positivo ( + 4 ) ( + 2 ) = + 8 ( - 4 ) ( - 2 ) = + 8 El producto de dos números de distinto signo es negativo ( + 1 ) ( - 2 ) = - 8 ( - 4 ) ( + 2 ) = - 8

Interpretación Geométrica de la Multiplicación de Números con Signo En la siguiente ilustración aparece una recta inclinada que representa una rampa de pendiente constante y una recta horizontal que representa el nivel del suelo.

Al desplazarnos una unidad en la dirección horizontal, el punto correspondiente sobre la rampa se encuentra a una altura de 0.3 unidades. ¿A qué altura nos encontraremos sobre la rampa al desplazarnos 2, 3, 4 o más unidades en la dirección horizontal? 0.3 3 4 1 2

La respuesta se obtiene multiplicando 2, 3, 4,. Por 0 La respuesta se obtiene multiplicando 2, 3, 4, ... Por 0.3 como puede verificarse en la siguiente figura. 4 x 0.3=1.2 3 x 0.3=0.9 2 x 0.3=0.6 1 1 x 0.3=0.3 0.3 3 4 1 2

Midiendo alturas y distancias la rampa anterior puede utilizarse para multiplicar cualquier número por 0.3.

DIVISÓN DE NÚMEROS CON SIGNO Sabemos que 24 6 = 4, porque 6 x 4 = 24 ¿ Cómo puedes usar esta relación entre la multiplicación y la división?

Cada una de las siguientes multiplicaciones da lugar a una división. (+6) (+4 ) = + 24 (+24) (+6 ) = + 4 (-6) (+4 ) = - 24 (-24) (-6 ) = + 4 (+6) (-4 ) = - 24 (-24) (+6 ) = - 4 (-6) (-4 ) = + 24 (+24) (-6 ) = - 4

La división de números con signo se indica colocando entre el dividendo y el divisor en forma horizontal. También se le puede indicar como una fracción de números con signo. a b ó bien a b

Como en la multiplicación, la división se obtiene aplicando la regla de los signos y dividiendo el valor absoluto de los números del dividendo o divisor.

( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + ( + ) ( - ) = - ( - ) ( + ) = - El cociente de dos números de igual signo es positivo, y el cociente de dos números de distinto signo es negativo. ( + ) ( + ) = + ( - ) ( - ) = + ( + ) ( - ) = - ( - ) ( + ) = -

El cociente de dos números de igual signo es positivo. ( -3.2 ) ( -2 ) = + 1.6 ( - 3 ) ( - 2 ) = + 9 4 3 8

El cociente de dos números de distinto signo es negativo. ( -150 ) ( +30 ) = -5 ( - 5 ) ( + 2 ) = - 15 8 3 16

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Sugerencias y Comentarios Elaboró: Profra. Olivia Murillo Hernández. Diseñó: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.