REGLA DE RUFFINI DÍA 11 * 1º BAD CS

Regla de Ruffini Cuando se trate de dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x - a), siendo a un número, la división de puede realizar de una forma más rápida y precisa: 1.‑ Se reduce el dividendo. 2.‑ Se ordena el dividendo forma decreciente. 3.‑ Si el dividendo es incompleto, poner ceros. 4.‑ Se colocan en fila los coeficientes del dividendo, incluidos los ceros. 5.- Se coloca a la izquierda el valor del número a. 6.- Se aplicar el algoritmo correspondiente de Ruffini. 7.‑ Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, salvo el último que es el resto de la división. 8.- Se puede comprobar el resultado, pues siempre se cumplirá: D(x) = d(x).c(x) + r(x).

Ejemplo_1 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ) , donde a = 3 1 4 0 - 5 + 3 3 21 63 1 7 21 58 C(x) = 1.x2 + 7.x + 21 R(x) = 58 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x - 3).(x2 + 7.x + 21) + 58

Ejemplo_2 de división por Ruffini Sea ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ) , donde a = - 5 1 4 0 - 5 + - 5 - 5 5 - 25 1 - 1 5 - 30 C(x) = 1.x2 - 1.x + 5 R(x) = - 30 Podemos comprobar la división: (x3 + 4.x2 - 5) = (x + 5 ).(x2 - x + 5) + (- 30)

Ejemplo_3 de división por Ruffini Sea ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ) , donde a = - 2 4 0 5 - 3 + - 2 - 8 16 - 42 4 - 8 21 - 45 C(x) = 4.x2 - 8.x + 21 R(x) = - 45 Podemos comprobar la división: ( 4.x3 + 5.x - 3 ) = ( x + 2 ).(4.x2 - 8.x + 21) + (- 45)

Método escalonado de Ruffini 1 - 3 3 - 1 + 1 1 - 2 1 1 - 2 1 0 1 1 - 1 1 - 1 0 1 1 1 0 Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Tenemos que resolver la ecuación: x3 - 3 x2 + 3.x - 1 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1} , o sea los divisores de 1.

Método escalonado de Ruffini 1 3 0 - 4 + 1 1 4 4 1 4 4 0 - 2 - 2 - 4 1 2 0 - 2 - 2 1 0 Sea P(x) = x3 + 3. x2 - 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 3 x2 - 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, - 2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Aplicamos el método de Ruffini sin recurrir al Teorema del Resto, o tras encontrar una raíz mediante sustitución.

TEOREMA DEL RESTO RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 TEOREMA DEL RESTO El resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) , es el valor del polinomio al sustituir la variable x por el valor de a. Si el binomio es de la forma (x + a) , sustituiremos la x por ‑ a. Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a se dice que es una raíz del polinomio. Si un polinomio es de grado n , tendrá como máximo n raíces reales. Si un polinomio es de grado impar tendrá obligatoriamente una raíz real. Si es de grado par tendrá 0, 2, 4 , … raíces reales.

EJEMPLO_1 Ya hemos visto al hacer la división: ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x - 3 ), que el resto es 58 Veamos aplicando el Teorema del resto: P(a)=P(3)= 33 + 4.32 - 5 = 27 + 36 – 5 = 58 EJEMPLO_2 ( x3 + 4.x2 - 5 ) : ( x + 5 ), que el resto es – 30 P(a)=P(-5)= (-5)3 + 4.(-5)2 - 5 = -125 + 100 – 5 = - 30 EJEMPLO_3 ( 4.x3 + 5.x - 3 ) : ( x + 2 ), que el resto es – 45 P(a)=P(-2)= 4.(-2)3 + 5.(-2) - 3 = - 32 – 10 – 3 = - 45

RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Sea P(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Donde a, b, c y d son números enteros. Se debe cumplir, si r es una raíz de P(x): a.r3 + b.r2 + c.r + d = 0 Pasando d al otro la y sacando factor común a r, tenemos: r.(a.r2 + b.r + c) = - d Vemos que r es un factor de – d O sea, que r es un divisor entero de d. Para hallar las raíces de un polinomio de grado igual o superior a 3, o sea las soluciones de la ecuación P(x)=0, lo primero será comprobar las posibles soluciones enteras o divisores enteros del término independiente. Si el polinomio P(x) no presenta término independiente, x=0 será una raíz o solución de la ecuación P(x) = 0

EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Sea P(x) = x3 + 2.x2 - 5.x - 6 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + 2.x2 - 5.x - 6 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6} , o sea los divisores de 6. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 2.12 - 5.1 – 6 = 1 + 2 – 5 – 6 = - 8 <> 0  No es raíz x =1 P(-1) = (-1)3 + 2.(-1)2 - 5.(-1) – 6 = -1 + 2 + 5 – 6 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = 23 + 2.22 - 5.2 – 6 = 8 + 8 – 10 – 6 = 0  x = 2 es otra raíz. P(-2) = (-2)3 + 2.(-2)2 - 5.(-2) – 6 = - 8 + 8 + 10 – 6 = 4 <> 0  No es raíz x = - 2 P(3) = 33 + 2.32 - 5.3 – 6 = 27 + 18 – 15 – 6 = 24 <> 0  No es raíz x = 3 P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) – 6 = - 27 + 18 + 15 – 6 = 0  x = -3 es otra raíz Las soluciones o raíces son: x = -1 , x = 2 y x = -3

OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Sea P(x) = x3 + x2 + 4.x + 4 Tenemos que resolver la ecuación: x3 + x2 + 4.x + 4 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1, 2, -2, 4, - 4} , o sea los divisores de 4. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 + 12 + 4.1 + 4 = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 <> 0  No es raíz x = 1 P(-1) = (-1)3 + (-1)2 + 4.(-1) + 4 = -1 + 1 – 4 + 4 = 0  x = -1 es una raíz. P(2) = 23 + 22 + 4.2 + 4 = 8 + 4 + 8 + 4 = 24 <> 0  No es raíz x = 2 P(-2) = (-2)3 + (-2)2 + 4.(-2) + 4 = - 8 + 4 – 8 + 4 = - 8 <> 0  No es raíz x = - 2 P(4) = 43 + 42 + 4.4 + 4 = 64 + 16 + 16 + 4 = 100 <> 0  No es raíz x = 4 P(-4) = (-4)3 + (-4)2 + 4.(-4) + 4 = - 64 + 16 – 16 + 4 = - 60 <>0  No es raíz x = - 4 La única raíz entera es x = -1

OTRO EJEMPLO DE RAÍCES ENTERAS DE UN POLINOMIO Sea P(x) = x3 - 3 x2 + 3.x - 1 Tenemos que resolver la ecuación: x3 - 3 x2 + 3.x - 1 = 0 Las posibles soluciones o raíces enteras son: PRE = {1, -1} , o sea los divisores de 1. Comprobamos una a una aplicando el Teorema del Resto: P(1) = 13 - 3. 12 + 3.1 - 1 = 1 - 3 + 3 - 1 = 0  x = 1 es una raíz P(-1) = (-1)3 - 3.(-1)2 + 3.(-1) - 1 = -1 - 3 + 3 - 1 = - 2 <> 0  No es una raíz x = -1 ¿Y las otras 2 raíces, puesto que puede haber hasta tres?. ¿Son fraccionarias, no enteras?. ¿O no son reales?. Pues en este caso resulta que las otras dos raíces también son enteras, pero al ser del mismo valor que la hallada, no nos hemos apercibido. Para evitar que, al repetirse dos o más veces una raíz, las omitamos cometiendo un error, emplearemos el método escalonado de Ruffini.

TEOREMA DEL FACTOR RAÍZ de un polinomio son todos los valores de x que al ser sustituidos el valor numérico del polinomio es cero. Cumplen la ecuación: P(x)=0 Por el Teorema del Resto, si a es una raíz, entonces P(a) = 0 TEOREMA DEL FACTOR Si el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio de la forma (x ‑ a) es 0, entonces la división es exacta y a es una raíz del polinomio. Se cumple que: P(x) = (x – a).C(x) Siendo C(x) el cociente que nos haya dado la división. (x – a) será un factor de P(x). P(x) se podrá entonces factorizar, convertir en un producto de polinomios.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS PASOS A TENER EN CUENTA ( I ) 1.‑ Reducir el polinomio a factorizar. 2.‑ Ordenarlo de forma decreciente. 3.‑ Buscar, aplicando el Teorema del Resto, las posibles raíces enteras. 4.‑ Una vez encontrada alguna raíz, aplicar la Regla de Ruffini para hallar las restantes, cuidando que alguna de ellas se puede repetir varias veces. 5.‑ Si algún cociente fuera de grado 2, se puede aplicar la fórmula de ecuaciones de segundo grado, pudiendo hallar de esta forma raíces racionales si las hubiera. 6.‑ Si el polinomio es de grado impar, tiene al menos una raíz real aunque no sea entera.

Ejemplo_1 Sea P(x) = 2.x3 + 3.x2 + 2.x - 2 Por el Teorema del Resto: P(1) = 2 + 3 + 2 – 2 = 5 <> 0 P(-1) = – 2 + 3 – 2 – 2 = - 3 <> 0 P(2) = 2.8 + 3.4 + 2.2 – 2 = 16 + 12 + 4 – 2 = 30 <> 0 P(-2) = 2.(-8) + 3.4 + 2.(-2) – 2 = - 16 + 12 - 4 – 2 = - 10 <> 0 No hay raíces enteras. Entre x = -1 y x = 1 hay una raíz , pues P(-1) < 0 y P(1) > 0 Por tanteo: P(0) = - 2 Sabemos que la raíz se encuentra entre x = 0 y x = 1 Por tanteo: P(0, 5) = 2.(0,5)3 + 3.(0,5)2 + 2.(0,5) - 2 = = 2.0,625 + 3.0,25 + 1 – 2 = 1,25 + 0,75 + 1 – 2 = 0 Luego x=0,5 es una raíz del polinomio ( la única). Aplicamos la Regla de Ruffini y tenemos: 2.x3 + 3.x2 + 2.x - 2 = 2.(x – 0,5).( x2 + 2.x + 2) Y ya estaría factorizado.

Ejemplo_2 Sea P(x) = 5.x3 + 11.x2 + 12.x + 2 Por el Teorema del Resto: P(1) = 5 + 11 + 12 + 2 = 30 <> 0 P(-1) = – 5 + 11 – 12 + 2 = - 4 <> 0 P(2) = 5.8 + 11.4 + 12.2 + 2 = 40 + 44 + 24 + 2 = 110 <> 0 P(-2) = 5.(-8) + 11.4 + 12.(-2) + 2 = - 40 + 44 - 24 + 2 = - 18 <> 0 No hay raíces enteras. Entre x = -1 y x = 1 hay una raíz , pues P(-1) < 0 y P(1) > 0 Por tanteo: P(0) = + 2 Sabemos que la raíz se encuentra entre x = - 1 y x = 0 Por tanteo: P(-0, 5) = 5.(-0,5)3 + 11.(-0,5)2 + 12.(-0,5) + 2 = = - 5.0,625 + 11.0,25 – 6 + 2 = -3,125 + 2,75 – 6 + 2 = - 4,125 Sabemos que la raíz se encuentra entre x = - 0,5 y x = 0 Por tanteo: P(- 0,2) = 0 Luego x = - 0,2 es una raíz del polinomio ( la única). Aplicamos la Regla de Ruffini y tenemos: P(x) = 5.x3 + 11.x2 + 12.x + 2 = 5.(x + 0,2).( x2 + 2.x + 2) Y ya estaría factorizado.