2. DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIANTE Introducción Normal bivariante Muestreo en poblaciones normales Distribución de Wishart Lema de Fisher multivariante Teorema central del límite        1

Introducción: distribución normal univariante donde con función de densidad 68% 95% -2 -  + +2 2 NORMAL MULTIVARIANTE

con función de densidad: Normal multivariante donde con función de densidad: 3 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal bivariante Ejemplo Desarrollar 4 NORMAL MULTIVARIANTE

con función de densidad Normal bivariante donde con función de densidad 5 NORMAL MULTIVARIANTE

6 EJEMPLOS

7 EJEMPLOS

12 =0  f(x1 ,x2)=f(x1)f(x2)  X1, X2 independientes Normal bivariante Propiedades 12 =0  f(x1 ,x2)=f(x1)f(x2)  X1, X2 independientes (,e) autovalor y autovector de   (1/ ,e) autovalor y autovector de -1 8 NORMAL MULTIVARIANTE

Representación gráfica Normal bivariante Representación gráfica x1 x2 f(x1,x2) c2  x1 x2 y2 y1 e2 e1 c2 c1 9 NORMAL MULTIVARIANTE

Hallar las elipses de densidad constante para Normal bivariante Ejemplo Hallar las elipses de densidad constante para 10 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante Propiedades 11 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante 12 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante 13 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante 14 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante Ejemplo 15 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante 16 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante 17 NORMAL MULTIVARIANTE

Dada (X1, X2), obtener la distribución de X2 condicionada por X1 =x1 Normal multivariante Ejemplo Dada (X1, X2), obtener la distribución de X2 condicionada por X1 =x1 18 NORMAL MULTIVARIANTE

(vii) Distribución de combinación lineal de normales Normal multivariante (vii) Distribución de combinación lineal de normales 19 NORMAL MULTIVARIANTE

(viii) Distribución conjunta de normales Normal multivariante (viii) Distribución conjunta de normales 20 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante Ejemplo 21 NORMAL MULTIVARIANTE

Normal multivariante Ejemplo 22 NORMAL MULTIVARIANTE

Distribución 2 23 NORMAL MULTIVARIANTE

Distribución 2 Propiedades 2p,  24 NORMAL MULTIVARIANTE

Muestreo en poblaciones normales Estimadores de máxima verosimilitud para  y  25 NORMAL MULTIVARIANTE

Muestreo en poblaciones normales Derivando parcialmente con respecto a todas las variables e igualando a cero, se obtiene: 26 NORMAL MULTIVARIANTE

Muestreo en poblaciones normales Propiedades estadísticos suficientes para En una dimensión, son normales independientes 27 NORMAL MULTIVARIANTE

Distribución de Wishart independientes, Wishart con m grados de libertad Propiedades 28 NORMAL MULTIVARIANTE

Lema de Fisher multivariante son independientes 29 NORMAL MULTIVARIANTE

Teorema Central del Límite (i) es asintóticamente normal d (ii) es consistente: c.s. n (iii) P n (iv) d n 30 NORMAL MULTIVARIANTE