Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Capitulo II.

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1 Departamento de Informática Universidad Técnica Federico Santa María EconometríaEconometría Capitulo II

2 Héctor Allende O. Estructura del Curso 1.- Introducción. 2.- Modelos de Asociación (Regresión) 2.1 Construcción de Modelos de Regresión 2.2 Verificación de Supuestos: Linealidad, Normalidad, Homocedasticidad, Independencia, etc 2.3 Contraste de Hipótesis y Estimación, en modelos de regresión. 3.- Modelos de clasificación 3.1 Árboles de Clasificación 3.2 Clasificación Bayesiana 3.3 Clasificación no parámetrica 4.- Modelos Estadísticos de Series de Tiempo 4.1 Suavizamiento Exponencial, Modelos Adaptivos 4.2 Modelos ARIMA, GARCH, ARMAX, ARFIMA, etc 5.- Modelos de Regresión libre ( Redes Neuronales, Series de Tiempo 6.-Aplicaciones y uso de software

3 Héctor Allende O. 3 Modelo de Regresión Modelo de Regresión  Modelo Explicativo Estático Supuestos básicos y ij, u ij : variables aleatorias dependiente ;  0,  1 : Parámetros y x i : variable explicativa determinística. Supuestos distribucionales. 1. E[u ij ]=0. 2. Var[u ij ]=  2, cte independiente de x. Perturbación es homocedástica. 3. u ij  N(0,  2 ). 4. E[u ij u kh ]=0,  (i,j)  (k,h)

4 Héctor Allende O. 4 1. 1- E[y ij / x i ]= 2- Var[y ij ]=  2. 2. 3 - f ( y ij / x i ) es normal 4- Las observaciones son independientes entre si 1.2 Estimación de parámetros. 1.2.1 Método de Máxima Verosimilitud. Función de Verosimilitud.

5 Héctor Allende O. 5 Derivando L( ) con respecto a los parámetros : y 1.2.2 Método de Mínimos Cuadrados.

6 Héctor Allende O. Distribución de los Parámetros

7 Héctor Allende O. 7 1.3.1 Propiedades de 1.3 Propiedades de los estimadores.

8 Héctor Allende O. 888 1.3.2 Propiedades de

9 Héctor Allende O. 999 1.3.3 Propiedades de 

10 Héctor Allende O. 10 Prueba de hipótesis. Estadístico Para la región crítica P(F (1,n-2)  C )=1- , se rechaza H 0 para F 0 >C. 1.4 Contraste de regresión.

11 Héctor Allende O. 11 Prueba de hipótesis. Estadístico de Prueba : Para la región crítica P(F (d-2,n-d)  C )=1- , se rechaza H 0 para F 0 >C. 1.5 Contraste de linealidad.

12 Héctor Allende O. Transformaciones Sea y i = h ( x i ) con i = 1,...,n 1. Linealesy i = ax i + b y = ax + b S y =  a  S x 2. No linealesy i = ln x i = h( x i ) y = h(x) + h”(x) S X 2 S y 2  S x 2  h’ (x)  2 i.e.y = ln x - ( S x 2 / x 2 ) S y 2  ( S x 2 / x 2 ) = C V 2

13 Héctor Allende O. Relaciones Linealizables 1. y = K x  ln y = a 0 + a 1 ln x 2. y = K  (  / x )y = a 0  a 1 x -1 3. y = K e  x ln y = a 0 + a 1 x 4. y = K e -  /x ln y = a 0 + a 1 x -1 5. y t = K +  cos ty = a 0 + a 1 x t siendo x t = cos t 6. y ( ) = y - 1 = a 0 + a 1 x y -1 dy = a 1 w = dy dx ln w = ln a 1 + ( 1 - ) ln y

14 Héctor Allende O. Ejemplo de Regresión Simple t0123456t0123456 V(t)3060463210417 204026148 2012 V(t)2540462912617 Sea x t = sen ty t = V(t) Luegoy(t) = a + b x t + u t

15 Héctor Allende O. % de Ajuste del Modelo =

16 Héctor Allende O. 16 Tiene por objeto contrastar a posteriori las hipótesis de linealidad del modelo. Es especialmente importante cuando se tiene un solo valor de la variable y para cada valor de la variable de control x. El analisis de los residuos se utiliza para verificar: Si su distribución es aproximadamente normal. Si su variabilidad es constante y no depende de x. Si presentan evidencia de una relación no lineal. Si existen observaciones atípicas o hetereogéneas. 1.6 Análisis de residuos.

17 Héctor Allende O. 17 Si el diagrama de dispersión de las dos variables a investigar presenta claro indicios de no linealidad, se tiene que acudir a transformar las variables Transformaciones Box-Cox (1964). Esta familia es útil para conseguir linealidad cuando la relación es monótona. Estimación de máxima verosimilitud para ( ). Suponga m=0 y un tal que transforme la variable en normal. 1.7 Transformaciones en regresión simple.

18 Héctor Allende O. Para obtener el máximo en L( ,  2, ) se fija : Sea la media geométrica de las observaciones: Definiendo Se obtiene Donde VNE( ) es la variabilidad no explicada en una regresión de Z( ) sobre x.

19 Héctor Allende O. 1.7.2 Transformaciones para conseguir homocedasticidad. Luego si deseamos que S z = k constante. Entonces debe verificarse: Suponga que la relación observada es. Entonces: 1.7.3 Consecuencia de las transformaciones. Sea la transformación El estimador E[y/x], será sesgado con sesgo proporcional a la varianza de la perturbación.

20 Héctor Allende O. 20 1.8.1 Estimaciones de las medias condicionales. Intervalo de confianza para las medias. Estimaciones de las medias condicionales. Se desea prever el valor de y para x = x h. Intuitivamente Criterio de predicción. Error cuadrático medio mínimo 1.8 Predicción.

21 Héctor Allende O. Intervalo de Confianza para las observaciones Coeficiente de Correlación. Coeficiente de determinación: Coeficiente de correlación: Relación entre y r :

22 Héctor Allende O. 1.11 Inferencia sobre el coeficiente de correlación. Utilizando la transformación de Fisher: Si (x,y) es una normal bivariada, entonces Z es Donde  es el verdadero coeficiente de correlación de la población. 1. La prueba  =0   1 =0. 2.