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3. COMPONENTES PRINCIPALES
Introducción Componentes principales Componentes principales muestrales Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores 1
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Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible.
Introducción Reducir la dimensión manteniendo la máxima información posible. Interpretación. Paso previo al uso de otras técnicas. 2 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Consiste en construir combinaciones lineales de las variables originales. Media: Varianza: Covarianza: 3 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Primera componente principal: combinación lineal de X tal que Segunda componente principal: combinación lineal de X tal que 4 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
... i-ésima componente principal: combinación lineal de X tal que 5 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Teorema Sea con matriz de covarianzas y autovalores y autovectores 6 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Entonces las componentes principales son: Además, 7 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Teorema Sea con matriz de covarianzas y pares de autovalores y autovectores 8 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Sean las componentes principales: Entonces 9 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Consecuencia La proporción de varianza explicada por la componente es: Proposición 10 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Teorema Sean X, , , , y los pares de autovalores y autovectores de , Entonces las componentes principales de Z = (V1/2)-1 (X – μ) son: Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con que con 11 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales
Además, y se cumple que Nota: No es lo mismo hacer componentes principales con que con 12 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de Sn Entonces la i-ésima componente principal muestral es: La varianza muestral de es Varianza total muestral: Covarianza muestral de e es 0. Correlación muestral: 13 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Teorema Sea la matriz de datos y los pares de autovalores y autovectores de R Entonces la i-ésima componente principal muestral es: 14 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Varianza muestral de es Varianza total muestral: Covarianza muestral de e es 0 Correlación: 15 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Ejemplo 16 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Autovalores y autovectores Calcular componentes principales sobre las variables tipificadas. 17 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales muestrales
Diagrama del precipicio Sirve para determinar cuántas componentes principales utilizar. Incluye el número de posibles componentes principales y los autovalores ordenados en los ejes x e y, respectivamente. Autovalores p 1 2 i n. i n nº c.p. Nota: Cuando el gráfico se hace horizontal, no se utilizan más componentes principales Se toman i componentes principales 18 COMPONENTES PRINCIPALES
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Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores
Dada , sean autovalores de con (no se repiten). Sean X1, X2,..., Xn i.i.d. y los siguientes autovalores y autovectores muestrales 19 COMPONENTES PRINCIPALES
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Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores
(i) Comportamiento asintótico de los autovalores d (ii) Comportamiento asintótico de los autovectores d (iii) Cada es independiente de los elementos de 20 COMPONENTES PRINCIPALES
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Comportamiento asintótico de autovalores y autovectores
Ejemplo Construir un intervalo con 1- = 0,95 para 1, siendo: 21 COMPONENTES PRINCIPALES
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Componentes principales con la matriz de correlaciones
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25 EJEMPLOS
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26 EJEMPLOS
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33 EJEMPLOS
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