FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Tema 6.2 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Se observa que los triángulos rectángulos OAB y OCD son semejantes por estar en posición de Thales. En ellos: sen α = AB / OA cos α = OB / OA sen α = CD / OC cos α = OD / OC Como el ángulo α es común: AB / OA = CD / OC OB / OA= OD / OC Si OA = 1, entonces: AB = CD / OC , que es el sen α OB = OD / OC, que es el cos α C A α O B D Si la hipotenusa OA vale 1, entonces los segmentos AB y OB nos darán el valor del seno y del coseno respectivamente del ángulo α. AB = sen α ; OB = cos α @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C A ECUACIÓN FUNDAMENTAL Se observa en el triángulo OAB, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: AB=sen α OB=cos α Por Pitágoras: AB2+OB2=OA2 sen2 α + cos2 α = r2 sen2 α + cos2 α = 1 Cualquiera que sea el valor del ángulo. r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C OTRA ECUACIÓN Se observa en el triángulo OCD, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: CD=tg α OC=sec α OD=r=1 Por Pitágoras: OD2+CD2=OC2 12+tg2 α = sec2 α 1 + tg2 α = sec2 α Cualquiera que sea el valor del ángulo. A r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C OTRA ECUACIÓN Se observa en el triángulo OEF, que al ser la hipotenusa r=1, los catetos son líneas trigonométricas: EF=cotg α OF=cosec α OE=r=1 Por Pitágoras: OE2+EF2=OF2 12+cotg2 α = cosec2 α 1 + cotg2 α = cosec2 α Cualquiera que sea el valor del ángulo. A r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS 90º E F C A ECUACIÓN TANGENTE Se observa en el triángulo OAB es semejante al triángulo OCD por tener los tres ángulos iguales. OB AB cos α sen α ---- = ----  -------- = ---------- OD CD 1 tg α Operando: tg α . cos α = sen α sen α tg α = --------- cos α r=1 α 180º 0º O B D 270º @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B NOTACIÓN Hay que tener muy presente que: (sen α)2 = sen2 α (cos α)2 = cos2 α (sen α)2 ≠ sen α2 (cos α)2 ≠ cos α2 Pues (sen α)2 es el cuadrado de una razón trigonométrica, del seno. Y sen α2 es la razón trigonométrica del cuadrado de un ángulo. EJEMPLO Sea el ángulo α = 30º (sen α)2 = (sen 30)2 = (0,5)2 = 0,25 sen α2 = sen 302 = sen 900 = sen (900 – 720) = sen 180 = 0 Como se ve los resultados son muy diferentes @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

CALCULADORA: PROS Y CONTRAS Si en una calculadora tenemos la tecla “C-P” Tecleamos el “3”, pulsamos “C-P”, tecleamos el “4”, y por último pulsamos el “=“. Nos aparecerá en el visor el “5”, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos hemos introducido. Pero hay más: Si pulsamos la tecla “INV” y luego la tecla “C-P”, nos aparecerá en el visor el valor del ángulo α. CONTRAS Sea un ángulo α tal que sen α = 0,707 y cos α = – 0,707 Está claro que tg α = – 1 Con la calculadora tratamos de hallar el ángulo. Tecleamos “– 1”, luego pulsamos “INV” , luego “tg x” y finalmente “=“. En el visor nos aparece el ángulo “– 45º “ FALSO, pues su verdadero valor es de 135º La mitad de las veces, en operaciones inversas, la calculadora “miente”. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejercicios Ejemplo 1 Sabiendo que el seno de un ángulo del 2º Cuadrante vale 0’6, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como sen2 α + cos2 α = 1  (0’6)2 + cos2 α = 1 0,36 + cos2 α = 1  cos2 α = 0,64  cos α = ±√0,64 = = ±0’8 cos α = – 0’8 por estar en el 2º Cuadrante. tg α = sen α / cos α = 0,6 / (-0,8) = - 0,75 sec α = 1 / cos α = 1 /(-0’8) = - 1,25 cosec α = 1 / sen α = 1 /0’6) = 5/3 cotg α = 1 / tg α = 1 /(-0,75) = - 4/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Ejemplo 2 Sabiendo que el coseno de un ángulo del 3º Cuadrante vale - 0’707, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (-0,707)2 = 1 sen2 α + 0,5 = 1  sen2 α = 0,5  sen α = ±√0,5 = = ±0’707 sen α = – 0’707 por estar en el 3º Cuadrante. tg α = sen α / cos α = - 0,707 / (-0,707) = 1 Ejemplo 3 Sabiendo que la tangente de un ángulo del 4º Cuadrante vale - 2, hallar el valor de las restantes razones trigonométricas. Como 1 + tg2 α = sec2 α  1 + (-2)2 = sec2 α sec2 α = 5  sec α = ±√5 sec α = √5 por estar en el 4º Cuadrante. cos α = 1 / sec α = 1 / √5 = √5 / 5 Como sen2 α + cos2 α = 1  sen2 α + (√5 / 5)2 = 1 sen2 α + 1/5 = 1  sen2 α = 4/5  sen α = ±2/√5  sen α = – 2√5/5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B