FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Presentación del tema: "FUNCIONES TRIGONOMETRICAS"— Transcripción de la presentación:

1 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
José David Ojeda Marín

2 Funciones Trigonométricas
Si θ es un Angulo en posición normal y P(x,y) es cualquier punto contenido en el lado final, deferente de O(0,0), se cumple que y se definen las funciones trigonométricas para el ángulo θ de la siguiente manera:

3 Funciones Trigonométricas
P(x,y) r y θ x

4 Funciones Trigonométricas

5 Funciones Trigonométricas

6 Funciones Trigonométricas
Según lo anterior se obtienen las siguientes relaciones reciprocas

7 Funciones Trigonométricas
Ejemplo: Si α es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, -2) determinar los valores las funciones seno, coseno y tangente. Solución: Como x = 4 & y = -2, entonces

8 Funciones Trigonométricas
Dada las definiciones de las funciones trigonométricas, tenemos:

9 Funciones Trigonométricas
A partir de los valores encontrados anteriormente, determinar el valor de las funciones cosecante, secante y cotangente de α. Como: Entonces:

10 Funciones Trigonométricas
Aplicamos lo mismo para las otras dos funciones:

11 Funciones Trigonométricas

12 Funciones Trigonométricas
Ejercicio 2: Si y hallar el valor de las demás funciones trigonométricas : Solución: Puesto que , entonces, . Además , entonces

13 Funciones Trigonométricas
Por lo anterior:

14 Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

15 Funciones Trigonométricas
Para determinar el signo de las funciones trigonometricas se debe analizar el comportamiento de r, x y y. Obsérvese que: siempre es positivo Por tanto x y y varían dependiendo del cuadrante en el que se encuentren

16 Funciones Trigonométricas
Por lo anterior, el signo del valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo, depende de los signos de x y y El siguiente cuadro resume los signos de las funciones del ángulo θ en posición normal, para los diferentes cuadrantes en los que puede estar ubicado el lado final del mismo

17 Funciones Trigonométricas
Cuadrante Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ I + II - III IV

18 Funciones trigonométricas de los ángulos con su lado final en los semiejes

19 Funciones Trigonométricas
Los ángulos en posición normal cuyo lado final coincide con uno de los semiejes del plano cartesiano, se llaman ángulos cuadrantales. Se debe considerar que sobre el lado final de un angulo cuadrantal, se encuentran algunos de los puntos (r, 0); (0, r); (- r, 0); (0, - r)

20 Funciones Trigonométricas
En la siguiente tabla se resumen los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos entre 0° y 360°

21 Funciones Trigonométricas
Angulo Sen θ Cos θ Tan θ Cot θ Sec θ Csc θ 1 Ind 90 180 -1 270 360

22 Razones trigonométricas en un triangulo rectángulo

23 Funciones Trigonométricas
P(x,y) Hipotenusa Cateto Opuesto r θ O Cateto Adyasente A

24 Funciones Trigonométricas
En la figura anterior se observa el ángulo θ en posición normal, cuyo lado final se encuentra en el primer cuadrante y un punto P ubicado sobre el, el segmento PA es perpendicular al eje x, por tanto el triangulo OPA es rectángulo; para este triangulo OP es la hipotenusa y PA y OA son los catetos.

25 Funciones Trigonométricas
De acuerdo con su posición con respecto al angulo θ, los catetos se clasifican en. PA : Cateto opuesto al ángulo θ OA : Cateto adyacente al ángulo θ

26 Funciones Trigonométricas
A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas para los ángulos en posición normal, se definen las relaciones trigonométricas en un triangulo rectángulo así:

27 Funciones Trigonométricas

28 Funciones Trigonométricas

29 Funciones Trigonométricas
Ejemplo: De acuerdo con la información de la figura, determinar el valor de las razones trigonométricas del ángulo θ. 5 3 θ 4

30 Funciones Trigonométricas
Solución:

31 Funciones Trigonométricas
Ejercicio 2: Determinar las razones trigonométricas para el ángulo φ φ h 4 2

32 Funciones Trigonométricas
Solución: Primero calculamos el valor de la hipotenusa: Ahora calculamos los valores de las razones trigonométricas

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34 Funciones Trigonométricas

35 Funciones Trigonométricas
Ejercicios: Determinar las funciones trigonométricas del ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el punto: P(2, 5) P(-3, 6) P(4, -2) P(7, -4) P(0, -4) P(1, 8) P(-7, -2) P(-2, -6)

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Determinar el valor de las funciones trigonométricas de cada uno de los ángulos θ en los siguientes triángulos rectángulos 8 θ h θ f. 5 5 h h a. 4 θ c. h 7 4 e. 2 θ θ h 9 3 b. θ h 6 θ 3 g. d. 5 6 h 2