Sesión 7 Tema: Operatoria con raíces y logaritmos. Víctor Manuel Reyes Feest Carrera: Técnico en Electricidad Asignatura: Matemática I Sede: Osorno Objetivo: Resolver y operar expresiones que involucren raíces y logaritmos.

Raíz (definición) Es una cantidad que se multiplica por sí misma una o más veces para presentarse como un número determinado. Índice Raíz B es la raíz n-ésima de a Cantidad subradical Toda potencia de exponente racional, de la forma m/n, corresponde a la raíz enésima de la emésima potencia de a:

Propiedades de las raíces: Raíz de un producto Raíz de un cociente

Propiedades de las raíces: Raíz de una potencia Raíz de una raíz

Propiedades de las raíces: Amplificación de una raíz Simplificación de una raíz

Racionalización Se debe evitar que una raíz quede en el denominador ya que complica la comparación con otra expresión o estimar su valor. Para ello hay que multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz de la siguiente forma:

Racionalización En la expresión tenemos dos términos en el denominador, el cual se puede racionalizar multiplicando aaaaaaaa por ya que formarán una Suma por Diferencia, lo que permite eliminar las raíces en el denominador.

loga c = b ab = c Logaritmo (definición) En términos sencillos y claros, un logaritmo es un exponente o potencia, a la que un número fijo (llamado base), se ha de elevar para dar un cierto número. Entonces, el logaritmo es la función inversa de la función exponente. Matemáticamente hablando, sería: loga c = b Es decir: ab = c

Logaritmo (ejemplos)

Logaritmo (propiedades) El logaritmo de la base siempre es igual a uno, es decir: loga a = 1 Ejemplos: log5 5 = 1 log89 89 = 1 Log12.500 12.500 = 1

Logaritmo (propiedades) El logaritmo de 1 en cualquier base es siempre igual a cero: loga 1 = 0 Ejemplos: log3 1 = 0 log2a 1 = 0 log43 1 = 0

loga (b·c) = loga b + loga c Logaritmo (propiedades) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: loga (b·c) = loga b + loga c Ejemplos: log2 (3·5) = log2 3 + log2 5 log3 (6·2·5) = log3 6 + log3 2 + log3 5 log4 (16·4) = log4 16 + log4 4 = 2+1 =3

loga (b/c) = loga b – loga c Logaritmo (propiedades) El logaritmo de una fracción es igual a la resta del logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. loga (b/c) = loga b – loga c Ejemplo: log2 3 / 4 = log2 3 – log2 4 log4 (16/4) = log4 16 - log4 4 = 2-1 = 1

Logaritmo (propiedades) El logaritmo de una potencia es igual a la potencia multiplicando al logaritmo de la base de la potencia: loga bc = c loga b Ejemplo: log2 53 = 3 log2 5 log3 √5 = ½ log3 5

Logaritmo (propiedades) El logaritmo de la base elevado a una potencia es igual a la potencia. Loga ab = b Ejemplo: log3 32 = 2 log4 46 = 6 log2 23 = 3

Logaritmo (propiedades) Cambio de base de logaritmo: El logaritmo en base a un número es igual a la fracción entre el logaritmo del primer número con base en un tercer número y el logaritmo del segundo número con base en un tercer número. loga b = logc b / logc a Ejemplo: log2 8 = log3 8 / log3 2

Logaritmo (propiedades) Un número elevado al logaritmo con base en el mismo número, es igual al número del logaritmo. a loga b = b Ejemplo: 4 log4 3 = 3 20 log20 4 = 4 b logb 2 = 2 3 log3 5 = 5

Resumen Potencia Raíces Logaritmo bn = x, xn = c, bx = c, (no se conoce c) (no se conoce b) (no se conoce n) bn = x, para calcular x, basta con calcular el resultado de la potencia. xn = c, para calcular x, basta con calcular la raíz enésima de c. bx = c, para calcular el valor de x necesitamos saber el exponente al que se debe elevar la base b para obtener c. x = logbc (c se llama antilogaritmo) Ej. 34 = x 3∙3∙3∙3 = x 81 = x Ej. x4 = 16 → x = x = 2