24 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable. Análisis de funciones.

Habilidades Explica con sus palabras los teoremas de Rolle y del valor medio a partir de una interpretación gráfica. Determina monotonía, extremos locales, intervalos de concavidad, puntos de inflexión en gráficas de funciones. Grafica funciones analizando todos sus elementos. 2 2

Teorema de Rolle Teorema Sea f : 1 Continua en [a, b]. 2 Derivable en ]a, b[. 3 f (a)=f (b) . Entonces Existe c ]a, b[ tal que f ’(c)=0. y x a b c1 c2 3 3

Teorema del valor medio 1 Continua en [a, b]. Sea f: 2 Derivable en ]a, b[. Entonces Existe c  ]a, b[ tal que y x a b c2 c1 4 4

Ejemplos: Ejemplos 3 o 4 Pág. 283. Ejercicio 7 Pág. 285.

Análisis de funciones Teorema Si f’(x)=0 para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f es constante en ]a, b[. Corolario Si f’(x)=g’(x) para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f - g es constante en ]a, b[. Es decir f(x) = g(x) + C, donde C es constante.

Prueba creciente - decreciente Si para toda entonces f es creciente en I Si para toda entonces f es decreciente en I

Ejemplo 1. Pág. 287

Prueba de la primera derivada Sea f continua y c un número crítico de f Si f’ cambia de positiva a negativa en c entonces f tiene un máximo local en c. Si f’ cambia de negativa a positiva en c entonces f tiene un mínimo local en c. Si f’ no cambia de signo en c entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c. y x c a. y x c b. y x c c.

Ejemplos 2 y 3. Pág. 289

Concavidad de la gráfica de una función Si la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo Si la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese intervalo

Prueba de concavidad y Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I x y x Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I

Punto de inflexión Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si se cumplen las tres condiciones siguientes: La curva es continua en P 1 La curva posee una única recta tangente en P 2 La curva cambia de concavidad a ambos lados de P. 3 P y x y x P y x P P y x

Prueba de la segunda derivada Sea f ” continua en una vecindad de c. Si y Si y entonces f tiene un máximo local en c ) ( = ¢ c f entonces f tiene un mínimo local en c y x c y x c

Ejemplos 6, 7 y 8. Pág. 292 y 293.

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicio 4.3. Pág. 296. Ejercicios 45 y 50