45 Integrales Longitud de arco Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable

Habilidades Plantear las integrales necesarias para calcular la longitud de una parte de la gráfica de una función y calcular las integrales en forma analítica cuando sea posible. Determinar la función de arco de una curva.

¿Qué se entiende por longitud de una curva?

Al igual que los conceptos de área y volumen, el concepto de longitud de arco requiere una definición cuidadosa. Si se estudiara un segmento de recta que une P1 y P2 su longitud sería: x1 x2 P1 P2 y2 y1 |P1P2|

Longitud de Arco Si la curva C se define mediante la ecuación y = f(x), donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C tomando una partición P de [a; b], con a = x0 < x1 < x2 <.......< xn = b. Los puntos Pi(xi; yi) están en la curva y el polígono de vértices Pi es una aproximación de C. La longitud de esa aproximación poligonal será: a x1 x2 xi-1 xi xn = b P0 P1 P2 Pi Pi-1 Pn C

Longitud de Arco La longitud anterior parece mejorar a medida que n  ∞, por lo tanto definimos: La cual como se ve no es aún una suma de Riemann, sin embargo, si f '(x) es continua, se puede escribir:

Teorema (Fórmula de la longitud de Arco) Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es: Que en términos de integral adopta la forma:

Longitud de Arco Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la longitud de arco se calculará con:

Función de la longitud de Arco Sea s(x) la distancia a lo largo de una curva C del punto inicial P0(a; f (a)) al punto Q(x; f (x)). Luego s es una función llamada función longitud de arco y esta determinada por la fórmula …(1) Como el integrando es continuo, entonces por el TFC 1 se tiene …(2)

Función de la longitud de Arco En la ecuación (2) se muestra que la relación de cambio de s con respecto a x es siempre por lo menos 1 y es igual a 1 cuando f ’(x), la pendiente de la curva, es 0. La diferencial de la longitud de arco es Y esta ecuación se escribe a veces en la forma simétrica …(3) …(4)

La formula (4) se puede interpretar como una versión infinitesimal del teorema de Pitágoras de la siguiente manera x y dx ds dy C Tomemos un punto (x; y) de la curva C y tracemos la recta tangente a C en dicho punto. Consideremos el triángulo sombreado cuyos catetos miden dx y dy y el arco de la curva C tal como se muestra en la figura. Es claro que ds es aproximadamente igual a la hipotenusa del triángulo sombreado, por lo que podemos escribir (ds)2 = (dx)2 + (dy)2, el cual se conoce como el Teorema de Pitágoras infinitesimal.

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Secciones 8.1 Ejercicios 8.1 Páginas: 530 –531