006 DETERMINANTES DETERMINANTES
Habilidades Calcular determinantes de orden 2. Determinar los menores y cofactores de un elemento de una matriz cuadrada. Definir un determinante de orden n. Calcular un determinante de orden 4 mediante la definición. 6. Reconocer cuando una matriz cuadrada tiene inversa mediante su determinante.
INTRODUCCIÓN Al resolver el SEL: Se tiene: El denominador de las soluciones son el desarrollo de la matriz:
Al resolver un SEL de 3x3: se tiene: Los denominadores corresponden al desarrollo de los términos de la matriz de 3x3:
Determinante El determinante es el valor que se le asigna a una matriz cuadrada. El determinante de la matriz A se denota por: |A| o por det(A), y será igual a un número real. Determinante de la matriz de 2x2 Se llama determinante de la matriz A de orden 2 al número a11.a22-a12.a21 , el cual obtenemos de: - +
Determinante de una matriz de 3x3 En el caso de matrices cuadradas de orden 3, también podemos calcular el determinante de la siguiente manera: + - Copie la primera y segunda columna de la matriz a su derecha
Menor Definición Sea A una matriz de orden n, llamaremos Menor correspondiente al elemento aij y lo denotamos por Mij al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene suprimiendo la fila i y la columna j de la matriz A. Dada la matriz Luego: M12=det( )=a21 a33-a31a23
Aij=(-1)i+jMij A12=(-1)3M12=-(a21a33-a31a23) COFACTOR Definición: Dada una matriz A de orden n llamaremos Cofactor del elemento aij y se denota por Aij al número dado por: Aij=(-1)i+jMij Dada la matriz A12=(-1)3M12=-(a21a33-a31a23) Se tiene:
Expansión por Cofactores DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN n Sea A una matriz de orden n, llamamos Determinante al número que se puede obtener mediante la suma (Desarrollo por los elementos de la fila i ) Expansión por Cofactores Observación: este desarrollo se puede realizar para cualquier fila o cualquier columna. Este desarrollo se debe al matemático francés Pierre-Simon Laplace
Una matriz A de nxn, tiene inversa si y sólo si: RELACIÓN DE UN DETERMINANTE Y LA INVERSA TEOREMA Una matriz A de nxn, tiene inversa si y sólo si: