GRÁFICA DE FUNCIONES RACIONALES Bloque III * Tema 129 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo_1 Puntos importantes a tener en cuenta para representar funciones RACIONALES, y = P(x) / Q(x) 1.- Dominio y Asíntotas verticales. 2.- Tendencia y Asíntotas horizontales. 3.- Asíntotas oblicuas. 4.- Máximos y mínimos relativos. 5.- Cortes con los ejes. 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 7.- Puntos de inflexión. 8.- Intervalos de concavidad y convexidad. 9.- Simetría. Y en menor medida: 10.- Periodicidad (Muy pocas funciones lo presentan). 11.- Tabla de Valores (En su caso para contener lo calculado). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS EJEMPLO_1 Representar la función: y = x / (3 – x) 1.- Asíntota vertical En x = 3 la función no existe. En x = 3 la función presenta una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x 3 Lím ------------ = ------ = + oo x 3- 3 – 3- +0 Lím ------------ = ------ = – oo x 3+ 3 – 3+ – 0 y 0 3 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Representar la función: y = x / (3 – x) 2.- Asíntota horizontal x oo y = Lím ------------ = ------ = xoo 3 – x oo Indeterminación Se divide todo entre x 1 1 Lím ------------ = ------ = – 1 x oo 3/x – 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. y 0 3 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Representar la función: y = x / (3 – x) 3.- Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f(x) x m = Lím ------ = lím -------------- = x oo x x oo x (3 – x) 1 1 1 m = Lím -------- = ---------- = ------ = 0 x oo 3 – x 3 – oo - oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. y 0 3 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Representar la función y = x / (3 – x) 4.- Puntos singulares Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 1. (3 – x) – (-1) . x ] / (3 – x)2 y ‘ = [ 3 – x + x ] / (3 – x)2 = 3 / (3 – x)2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  3 = 0  Imposible. No existen puntos singulares, ni máximo ni mínimo relativo. 5- Cortes con los ejes Con el eje OY: x=0  y = 0 / 3 = 0  Pc(0,0) Con el eje OX: y=0  0= x / (3 – x)  0 = x  Pc(0,0) y Pc(0,0) 0 3 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Su derivada era y ‘ = 3 / ( 3 – x)2 Al no haber puntos singulares, x = 3, que es la A.V., nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (-oo, 3) y (3, oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (0) = 3 / (3 – 0)2 = 3 / 9 = 1 / 3 > 0  Creciente en (- oo, 3) f ’ ( 6) = 3 / (3 – 6)2 = 3 / 9 = 1/ 3 > 0  Creciente en (3, + oo) 7.- Puntos de Inflexión: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2 Hallamos la segunda derivada: y ’’ = [ 0. (3 – x)2 – 3. 2.(3 – x).( - 1)] / (3 – x)4 y ’’ = [ 6.(3 – x)] / (3 – x)4 = 6 / (3 – x)3 Igualamos a cero: 6 / (3 – x)3 = 0  6 = 0  Imposible. No existen puntos de inflexión. No procede comprobar que y’’’ <> 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1: Representar la función y = x / (3 – x) 8.- Intervalos de concavidad y convexidad: Su derivada era y ‘ = 3 / (3 – x)2 Su segunda derivada era: y ’’ = 6 / (3 – x)3 Como no hay Puntos de Inflexión, los límites de los intervalos vendrán dados por la asíntota vertical x = 3 Los intervalos a estudiar son: (- oo, 3) y (3, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ‘’ (0) = 6 / 33 > 0  Es Cóncava en (- oo, 3) f ‘’ (6) = 6 / (3 – 6)3 = 6 / (- 33) < 0  Es Convexa en (3, + oo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Gráfica de la función Ejemplo_1 Sea la función: y = x / (3 – x) Asíntota vertical: x = 3 Asíntota horizontal: y = - 1 Puntos de corte: Pc (0, 0), Máximo: No hay. Mínimo: No hay. Creciente en (- oo, 3) y en (3, +oo) Punto de Inflexión: No hay. Es çóncava en (- oo, 3) Es convexa en (3, + oo) No presenta simetrías. y Pc(0,0) 0 3 x -1 Gráfica de la función Ejemplo_1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo_2 Representar la función: y = (x2 + 3) / (4.x – x2) 1.- Asíntotas verticales En x = 0 y x = 4 la función no existe. x = 0 es una asíntota vertical. x = 4 es una asíntota vertical. Calculamos sus límites laterales: x2 + 3 3 Lím ------------ = ---------- = - oo x 0- 4.x – x2 0- – 0- x2 + 3 3 Lím ------------ = ---------- = + oo x 0+ 4.x – x2 0+ – 0+ Pues en valores muy próximos a 0, 4x es mayor que x2 y 0 4 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Calculamos sus límites laterales: x2 + 3 19 Lím ------------ = ---------- = + oo x 4- 4.x – x2 16- – 16- Lím ------------ = ---------- = - oo x 4+ 4.x – x2 16+ – 16+ 2.- Asíntota horizontal x2 + 3 oo y =Lím ------------ = ---------- = Indet x oo 4.x – x2 – 00 Se divide todo entre x2 1 + 3 / x2 1 + 0 y = Lím ------------- = -------- = – 1 x oo 4 / x - 1 0 – 1 y= -1 es una asíntota horizontal. y 0 4 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 3.- Asíntota oblicua La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función: f (x) (x2 + 3) m = Lím ------ = lím -------------- = x oo x x oo x (4.x – x2) x2 + 3 oo m = Lím ------------- = ------ = Indet. x oo 4.x2 – x3 - oo Dividimos todo entre x3 : m = lím [ 0 + 0 ] / [0 – 1] = 0 / (-1) = 0 x oo Al ser la pendiente m=0, la asíntota es horizontal (ya hallada). No hay asíntota oblicua. y 0 4 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 4.- Puntos singulares y = (x2 + 3) / (4.x – x2) Derivamos la función para hallar los puntos singulares: y ‘ = [ 2x. (4.x – x2) – (x2 + 3 ).(4 – 2.x ] / (4.x – x2)2 y ‘ = [ 8.x2 – 2.x3 – 4.x2 + 2.x3 – 6.x – 12 ] / (4.x – x2)2 y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2 Igualamos a cero: y ‘ = 0  4.x2 – 6.x – 12 = 0  2.x2 – 3.x – 6 = 0 Resolvemos la ecuación: x = [ 3 +/- √ (9 + 48) ] / 4 = (3 +/- 7,55) / 4  x = 2,64 y x = - 1,16 son las abscisas de los puntos singulares. Calculamos sus ordenadas: f(2,64) = (2,642 + 3) / (4.2,64 – 2,642) = 9,97 / 3,59 = 2,77 f(-1,16) = ((-1,16)2 + 3) / (4.(-1,16) – (-1,16)2) = 4,34 / (-5,98) = -0,72 Los puntos son: (-1,16, -0,72) y (2,64, 2,77) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 5- Cortes con los ejes y = (x2 + 3) / (4.x – x2) Con el eje OY: x=0  No puede haber al ser asíntota vertical. Con el eje OX: y=0  0 = (x2 + 3) / (4.x – x2) 0 = x2 + 3  x2 = – 3  No hay Nota: Si se ha ido confeccionando la gráfica se verá como la curva debe cortar a la asíntota horizontal a la derecha del máximo relativo calculado. y 0 4 x -1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS 6.- Intervalos de crecimiento y decrecimiento: y = (x2 + 3) / (4.x – x2) Su derivada era: y ‘ = ( 4.x2 – 6.x – 12 ) / (4.x – x2)2 Los puntos singulares y las asíntotas verticales nos delimita los intervalos Los intervalos a estudiar son: (- oo, -1,16) , (-1,16, 0) , (0, 2,64) , (2,64, 4) y (4, + oo) Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo: f ’ (-2) = ( 4.(-2)2 – 6.(-2) – 12 ) / (4.(-2) – (-2)2)2 = 16/144 > 0  Creciente en (- oo, -1,16) f ’ (-1) = ( 4.(-1)2 – 6.(-1) – 12 ) / (4.(-1) – (-1)2)2 = -2 / 25 <0  Decreciente en (-1,16, 0) f ’ (2) = ( 4.22 – 6.2 – 12 ) / (4.2 – 22)2 = - 8 /16 < 0  Decreciente en (0, 2,64) f ’ (3) = ( 4.32 – 6.3 – 12 ) / (4.3 – 32)2 = 6 / 9 > 0  Creciente en (2,64, + oo) f ’ (5) = ( 4.52 – 6.5 – 12 ) / (4.5 – 52)2 = 58 / 25 > 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS y Mín Gráfica del Ejemplo_2 Máx 0 4 x -1 Punto de Inflexión @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS