Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ED lineales Linealidad ED lineal Solución general de una ED lineal ED homogénea asociada y su solución Solución particular ED lineales de primer orden Método de solución Ejercicios

Función lineal Una función lineal es aquella que cumple con los principios siguientes: Superposición Homogeneidad

Ejemplos de funciones lineales y no lineales Función lineal Función NO lineal

Ecuación diferencial lineal

Ecuación diferencial lineal, solución general: La solución de (A) está dada por, Solución general Solución homogénea Solución particular

Ecuación diferencial homogénea asociada (A) (B) ED homogénea asociada de (A), su solución es yh(x)

Solución particular, yp(x) Esta solución depende del término no homogéneo de (A). Durante el curso veremos dos métodos para obtener a yp(x) para ED de orden n: coeficientes indeterminados y variación de parámetros. Además veremos un método especial para Ecuaciones Diferenciales de primer orden

ED lineales de primer orden Forma estándar (C) Solución general de (c):

Homogénea asociada de (C), ¿Cómo encontrar yh?

¿Cómo resolver el caso no homogéneo (C)? yg(x) = yh(x) + yp(x) yp = ? yp depende de Q(x)

Factor integrante de (C), Entonces la ED Es exacta:

Solución general de (C) yh(x) yp(x) Factor integrante de (C)

Comentarios La solución general de una ED lineal de orden n, se forma superponiendo la solución de la homogénea asociada y una solución particular que depende del término no homogéneo de la ecuación diferencial. La ecuación (D) es la solución general de una ED lineal homogénea de primer orden, sin importar el tipo de coeficientes que tenga la ED, lo único que importa es que sea lineal y de primer orden. En la solución general de una ED lineal sólo hay constantes de integración en la parte homogénea de la solución (yh), y en la solución particular no hay constantes de integración. Recuerde que dado que se trata de una ED de primer orden, la solución general solamente tiene una constante de integración.

Ejercicios (1) (2) (3) (4)

Obtenga una ecuación diferencial lineal de primer orden de la forma Para la cual