Los Números Racionales Prof. Isaías Correa Marín

Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Objetivos: Aplicar las operaciones básicas en los números racionales. Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Contenidos Números racionales (Q) 2. Números irracionales (Q*) 1.1 Propiedades de los racionales 1.2 Operatoria en los racionales 1.3 Transformaciones de números racionales 1.4 Comparación de fracciones 1.5 Secuencia numérica 2. Números irracionales (Q*) 3. Números reales ( IR ) 4. Números imaginarios ( II ) 5. Números complejos ( C )

1.Números Racionales (Q) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = a: numerador y b: denominador Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489; 2,18; -0,647 -1; 8 14; 3 15, NO es racional

Todo número entero es racional. Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0), 3 es Entero (3 Z), y como 3 = , 3 es racional (3 Q). 3 1 IN IN0 Z Q

Diagrama representativo:

1.1 Propiedades de los racionales Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria. Amplificar y simplificar fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Ejemplo: Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 2∙ 3∙ 6 12 18 =

Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Ejemplo: Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45 27 : 45 : 3 9 15 = Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 9 2 es:

1.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 11 15 4 15 - 7 -3 15 = y = 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙3 + 7∙1 45 6 + 7 45 13 45 = =

3. Si los denominadores son primos entre sí: 4 5 + 7 8 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 67 40 = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 29 36 = =

8 Multiplicación: División: Número Mixto: Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙ -28 40 -32 35 = 32 35 - Número Mixto: Ejemplo: 3 5 = 8∙5 + 3 5 = 43 5 8

1.3 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Se divide el numerador por el denominador. Ejemplo: 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. Ejemplo: 1,75 = 100 175 = 25∙7 25∙4 = 7 4

De un número decimal periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233 99 Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376 999 Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

De un número decimal semi periódico a fracción: 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Ejemplo: 3,21 = 321-32 = 289 90 Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

1.4 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar (Multiplicando cruzado) 13 15 9 10 y 13 ∙ 10 y 15 ∙ 9 130 y 135 13 15 9 10 Como 130 < 135, entonces: <

Igualando denominadores: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y 52 60 35 60 y Como 52 > 35, entonces 13 15 7 12 >

Transformar a decimal: Ejemplo: 13 15 7 12 Al comparar (Transformando a decimal) y 13 15 = 0,86666666… 7 12 = 0,58333333… 13 15 7 12 Como 0,86 > 0,583 , entonces >

Igualando Numeradores: Ejemplo: Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) 10 3 13 4 y 10·13 3·13 13·10 4·10 y 130 39 40 y 10 3 13 4 es mayor que Por lo tanto,

1.5 Secuencia Numérica Ejemplo: 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5 6 , 5 16 , 5 26 , 5 36 , ... 5 En la secuencia: ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1 , 5 Respuesta: De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 . 5 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 65 5 1 , Es decir: 65 = 13 5

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1 , 5 1 + 3 , 5 1 + 5 , 5 1 + 7 , 5 ... , 1 + 13… 5 1° 2° 3° 4° ... , 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 5 1 + (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

2. Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). Q* = Q U Q*=

3. Números Reales (IR) IR = Q U Q* IN IN0 Z Q IR Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. IR = Q U Q* Ejemplos: 3, -89, -2; 7 2,18; 23,491002 Diagrama representativo: IN IN0 Z Q IR Q* IR

4. Números imaginarios (II) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. IR U II = O Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa:

5. Números complejos (C) IR x II = C IN IN0 Z Q IR C Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios. Diagrama representativo: IR x II = C IN IN0 Z Q IR C II C

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido

Decimal semiperiódico Conjunto Q Propiedades y comparación Operatoria Transformaciones Decimal finito a fracción Decimal periódico a Decimal semiperiódico a Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes

Conjunto C Conjunto IR Conjunto II Conjunto Q Conjunto Q* IR x II Q U Q* = IR IR ∩ II = O Conjunto Q Conjunto Q* Fracciones Decimales Decimales infinitos NO periódicos Impropia Propia Número mixto Finitos Infinitos periódicos Infinitos semiperiódicos