Funciones exponenciales y logarítmicas [Nota para el instructor: para obtener ayuda detallada sobre cómo personalizar esta plantilla, vea la última diapositiva. Asimismo, encontrará información adicional sobre la lección en el panel de notas de algunas diapositivas.]

Definición Es una función trascendente, es aquella que no satisface una ecuación polinomial, a diferencia de una función algebraica que si puede ser representada a través de polinomios.

Objetivos Definir e identificar una función exponencial, establecer su dominio y rango. Conocer las características de la gráfica de una función exponencial. Explorar el cambio gráfico que se produce al modificar la base, los coeficientes y/o los exponentes de una función exponencial utilizando un graficador. Graficar una función exponencial dada y determinar su dominio y rango. Modelar situaciones que puedan ser expresadas como una función exponencial.

La función exponencial 𝑓 con base 𝑎 se representa como: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 Donde 𝑎>0, 𝑎≠1 𝑦 𝑥 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

Ejemplos 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 𝑠𝑖 𝑥=2 𝑓 2 = 5 2 =25 2) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑠𝑖 𝑥=2 𝑓 2 = 3 2 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 𝑠𝑖 𝑥=2 𝑓 2 = 5 2 =25 2) 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 𝑠𝑖 𝑥=2 𝑓 2 = 3 2 =9 Ejercicios para resolver

Dominio y rango de una función exponencial Caso: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 La definición de la exponencial nos indica que 𝑎 no debe ser negativa y que 𝑥 puede tomar cualquier valor real. Si analizamos los resultados al evaluar la función cuando 𝑥 toma valores mayores que cero, el resultando va a ser mayor a cero. Ejemplo: 𝑆𝑖 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 0≤𝑥≤5 𝒙 𝒇(𝒙) 1 2 4 3 8 16 5 32 Podemos concluir que conforme más grande sea 𝑥, el resultado crecerá tendiendo a un valor infinito

Con lo que se puede concluir que el dominio y el rango son: En el caso en donde 𝑥 toma valores negativos se puede observar que el resultado se encontrará 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 entre 0 y 1, esto lo podemos ver si evaluamos la función propuesta anteriormente en el intervalo −5≤𝑥≤0 𝒙 𝒇(𝒙) -1 0.5 -2 0.25 -3 0.125 -4 0.0625 -5 0.03125 Con lo que se puede concluir que el dominio y el rango son: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 : 𝐷𝑓= −∞,∞ 𝑅𝑓=(0, ∞)

Caso: 𝑓 𝑥 = 𝑎 −𝑥 En este caso se puede observar que conforme 𝑥 se hace más grande 𝑓(𝑥) se hace más pequeño hasta casi tocar el eje de las 𝑥, y si 𝑥 toma valores negativos 𝑓(𝑥) crece hasta llegar al infinito. 𝒙 𝒇(𝒙) -5 3125 -4 625 -3 125 -2 25 -1 5 1 0.2 2 0.04 3 0.008 4 0.0016 0.00032 Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 5 −𝑥 , −5≤𝑥≤5 Grafica

Transformaciones de una gráfica de la función exponencial DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL. Si la función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 se le modifica el exponente 𝑥 por 𝑥+𝑐 en donde 𝑐 es una constante, se tendrá la nueva función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥+𝑐 , dando como resultado un desplazamiento a la izquierda de la gráfica de la exponencial. En el caso de usar el exponente 𝑥−𝑐, se tendrá la nueva función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥−𝑐 , teniendo como resultado un desplazamiento a la derecha de la gráfica exponencial. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 𝑓 𝑥 = 6 𝑥−3 𝑓 𝑥 = 6 𝑥+3

DESPLAZAMIENTO VERTICAL Si ahora se suma una constante a la función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , entonces 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +𝑐, dando como resultado un desplazamiento hacia arriba de la gráfica de la exponencial. En el caso de restar la constante a la función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 −𝑐 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑒𝑟á ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜. 𝑓 𝑥 = 6 𝑥+3 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 𝑓 𝑥 = 6 𝑥−3

REFLEXIÓN CON EL EJE 𝑥 La transformación necesaria para que haya una reflexión de la exponencial con respecto al eje 𝑥 , consiste en hacer −𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 𝑓 𝑥 =− 6 𝑥

Reflexión con el eje 𝑦 La modificación que se hace a 𝑓 𝑥 es en el exponente de la constante, para que quede de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑎 −𝑥 𝑓 𝑥 = 6 𝑥 𝑓 𝑥 = 6 −𝑥