@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 Bloque I * Tema 028 Determinantes

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 DETERMINANTE Determinante de una matriz cuadrada de orden n es el conjunto de nxn números ordenados de igual manera que en la matriz. En cuanto a su notación, sirve cambiar los paréntesis de la matriz por dos rayas verticales que comprendan dicho conjunto de números, ordenados en n filas y en n columnas. E jemplo: |A| = Un determinante de orden 4 (4x4) será |A| = [Cuatro filas x cuatro columnas]

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 REGLA DE SARRUS REGLA DE SARRUS El valor de un determinante es la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal principal (de izquierda a derecha), menos la suma de los productos de todos los elementos de cada diagonal secundaria (de derecha a izquierda). Cada elemento aij del determinante formará parte de un producto positivo y de un producto negativo. Para determinantes [2x2]: |A| = a 11.a 22 - a 12.a 21 Para determinantes [3x3]: |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 Para determinantes [nxn] en general: Se procede a desarrollar, como veremos más adelante, el determinante dado en función de una sola fila o columna, resultando al final del proceso determinantes 2x2 o/y 3x3 únicamente.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 MENOR NO NULO MENOR DE UN DETERMINANTE Se llama menor de un determinante nxn (n filas y n columnas) a cualquier otro determinante (n – k)x(n – k) que se pueda formar con parte de los elementos del primero, de forma que coincidan el índice i (de las filas) o el índice j (de las columnas). Ejemplo Sea el determinante 3x3: a 11 a 12 a 13 |A| = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Menores de dicho determinante serán, entre otros: a 11 a 12 a 11 a 13 a 22 a 23 a 21 a 22, a 31 a 33, a 32 a 33, a 21, a 23, etc. Se llamará MENOR NO NULO si su valor es distinto de cero.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Sea el determinante de orden 2 Habrá únicamente 2 productos posibles: a 11.a 22 y a 12.a 21 El primer producto es positivo y el segundo negativo. El valor del determinante será: |A| = a 11.a 22 - a 12.a 21 Ejemplo |A| = 3 5 |A| = 2.5 – (- 4).3 = 10 – (- 12) = = 22 Determinante de orden 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Sea el determinante de orden |A| Por la Regla de Sarrus |A| = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 21.a 32.a a 13.a 22.a 31 - a 12.a 21.a 33 - a 11.a 23.a 32 |A| = – – – = = – 105 – 72 – 48 = 225 – 225 = 0 Determinante de orden 3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Es el orden del determinante de mayor menor no nulo de dicha matriz. El mayor determinante que podemos formar en de orden 3 (3x3). Como mucho su Rango vale 3 ; Rang (A) = 3 Ya vimos que |A| = 0, por lo que su rango no puede ser 3. Tomamos un determinante cualquiera de orden |A| =  |A|= 5 – 8 = – 3 <> 0, luego Rang A = Sea la matriz 123 A = RANGO DE UNA MATRIZ