Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tema 7 * 3º ESO SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Tema 7.6 * 3º ESO SUMA DE TÉRMINOS EN P.G. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Suma de términos en P.G. Demostramos la fórmula de la suma: S = a + a + a + a + ... + a + .... + a + a 1 2 3 4 k n‑1 n Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a .r + a . r + a . r + ... + a .r + a .r 1 2 3 n‑1 n Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a ‑ a . r 1 n a1 - an S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = ------------ 1 n 1 - r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO FÓRMULA ALTERNATIVA La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: n a . ( 1 – r ) 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑ 1 – r EN CASO DE P.G. INFINITAS Y RAZÓN MENOR QUE 1 Al ser r<1, la potencia roo  0 Quedando la fórmula de la suma así: a . ( 1 – 0) a 1 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ = ------------- 1 – r 1 – r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_1 Hallar la suma de las 12 primeras potencias de 3. La P.G. sería: an = 3, 9, 27, … Donde a1 = 3 , r = 3 y n = 12 Como an = a1 . rn – 1 Hallamos a12 = 3 . 312 – 1 = 312 Y aplicando la suma: S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (3 – 312.3) / (1 – 3) = 797 160 Ejemplo_2 Hallar la suma de los 100 primeros términos de la siguiente progresión: an = 4, 2, 1, … Es una PG, donde a1 = 4 , r = ½ y n = 100 Hallamos a100 = 4 . (1/2) 100 – 1 = 4.0,599 = 4.1,5777.10 – 30 = 6,31.10 – 30 S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (4 – 6,31.10 – 30 .0,5) / (1 – 0,5) = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Ejemplo_3 Hallar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros inscritos en uno de 4 cm de lado. La altura de un triángulo equilátero es: h = l.√3 / 2 En el triángulo grande: h = 4. √3 / 2 = 2. √3 El área será: A=b.h/2 = 4. 2. √3 / 2 = 4. √3 En el siguiente triángulo, de lado 2: h = 2. √3 / 2 = √3 El área será: A=b.h/2 = 2. √3 / 2 = √3 En el siguiente triángulo, de lado 1: h = 1. √3 / 2 = √3 / 2 El área será: A=b.h/2 = 1. (√3 / 2) / 2 = √3 / 4 Las áreas forman la sucesión: 4.√3 , √3 , √3 / 4 , … Que es una PG de razón r=1/4 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) = 4.√3 / (1 – 0,25) = 16.√3 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_1 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 64-1 63 Hallamos a64 = a1 . 2 = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 63 64 19 S = (1 - 2 . 2) / ( 1 – 2 ) = 2 - 1 = 1,8 . 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_2 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 12-1 11 Hallamos a12 = a1 . 4 = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: 11 12 S = (1 - 4 . 4) / ( 1 – 4 ) = ( 4 - 1 ) / 3 = 5.592.405 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_3 Mónica le dice a Carlos: “Tu me das 0,01 € un día, 0,02 € otro día, 0,04 € otro día, y así sucesivamente durante un mes. A cambio yo te doy 1 € un día, 2 € otro día, 3 € otro día, y así hasta un mes. ¿Aceptas?. “ Carlos enseguida aceptó, pues parecía muy evidente que a cambio de muy pocos euros se iba a llevar algunos cientos de euros. ¿Quien crees que salió perdiendo?. RESOLUCIÓN: Lo que da Mónica a Carlos: ( an )= 1 , 2 , 3 , 4 , 5, … Es una PA, donde a1 = 1 , d = 1 y n = 30 Lo que da Carlos a Mónica: ( an )= 0,01 , 0,02 , 0,04 , 0,08, … Es una PG, donde a1 = 0,01 , r = 2 y n = 30 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Para hallar la suma de todo lo que le da Mónica a Carlos y viceversa necesitamos saber el valor del último término, lo que se dan mutuamente el último día. Lo que da Mónica a Carlos el último día: a30 = a1 + (n-1).d = 1 + (30 – 1).1 = 1 + 29 = 30 € Lo que da Carlos a Mónica el último día: n-1 30-1 a30 = a1 . r = 0,01. 2 = 5.368.709 € Veamos ahora la suma de ambos: Lo que da Mónica a Carlos en total: S = (a1 + a30 ). 15 = (1+30).15 = 31.15 = 465 € Lo que da Carlos a Mónica en total: S = (a1 - a30 . r ) / ( 1-r) = (0,01 – 5368709.2) / (1- 2) = 10.737.418 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_4 Al pagar una motocicleta, nos ofrecen la posibilidad de hacerlo en cómodos plazos mensuales (letras). El 1º mes pagamos 100 € y cada uno de los once meses restantes el 5% más que el mes anterior. ¿Qué tipo de progresión es?. ¿Qué pagaremos el último mes?. ¿Cuáles han sido los intereses si la motocicleta costaba 1200 €?. Resolución: a1 = 100 a2 = 100 + 5%(100) = 100 + 5 = 105 a3 = 105 + 5%(105) = 105 + 5,25 = 110,25 Vemos que no es una PA pues la diferencia no es constante. 105 – 100 <> 110,25 – 105 a2 = a1 r  r = a2 / a1 = 105 /100 = 1,05 a3 = a2 r  110,25 = 105.1,05  110,25 = 110,25 Vemos que es una PG de razón 1,05 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO … Resolución: El último mes habremos pagado por la letra: a12 = a1 . 1,0511 = 100 . 1,71 = 171 € En total habremos pagado por la motocicleta: S = a1 .(1 – rn)/ (1 – r) = 100 .(1 – 1,0512)/ (1 – 1,05) = = 100 ( 1 – 1,7958)/(– 0,05) = – 79,58 / (– 0,05) = 1592 € Intereses abonados: 1592 – 1200 = 392 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Problema_5 En un depósito de agua se produce una grieta que aumenta al paso de los días de modo que perdemos 5 litros el primer día, 10 el segundo día, 20 el tercer día, y así sucesivamente. Al mismo tiempo al depósito le llegan 100 litros el primer día, 200 litros el segundo día, 300 litros el tercer día, y así sucesivamente. Al cabo de 10 días, ¿habrá agua en el depósito, inicialmente vacío?. ¿Y a los 12 días?. RESOLUCIÓN: Lo que llega al depósito: ( an )= 100 , 200 , 300 , 400 , 500, … Es una PA, donde a1 = 100 , d = 100 y n = 10 ( días) Lo que pierde el depósito: ( an )= 5 , 10 , 20 , 40, 80, … Es una PG, donde a1 = 5 , r = 2 y n = 10 ( días) @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO Para hallar la suma de todo lo que llega y de todo lo que pierde, necesitamos saber el valor del último término, lo que llega y lo que pierde el último día. Lo que llega el último día: a10 = a1 + (n-1).d = 100 + (10 – 1).100 = 100 + 900 = 1.000 litros Lo que pierde el último día: n-1 10-1 a10 = a1 . r = 5. 2 = 5 . 512 = 2.560 litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = (100+1000).5 = 1100 . 5 = 5.500 litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a10 . r ) / ( 1-r) = (5 – 2560.2) / (1- 2) = 5.115 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Apuntes de Matemáticas 3º ESO A los 10 días tendremos agua, pues es mayor la cantidad suministrada que la perdida. Veamos al cabo de 12 días: Lo que llega el último día: a12 = a1 + (n-1).d = 100 + (12 – 1).100 = 100 + 1100 = 1.200 litros Lo que pierde el último día: n-1 12-1 a12 = a1 . r = 5. 2 = 5 . 2048 = 10.240 litros Veamos ahora la suma de ambos: Lo que llega en total: S = (a1 + a10 ). 5 = (100+1200).5 = 1300 . 5 = 6.500 litros Lo que pierde en total: S = (a1 - a12 . r ) / ( 1-r) = (5 – 10240.2) / (1- 2) = 20.475 litros @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO