PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DÍA 07 * 1º BAD CS

Presentación del tema: "PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DÍA 07 * 1º BAD CS"— Transcripción de la presentación:

1 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS DÍA 07 * 1º BAD CS

2 Sucesiones de números reales
SUCESIÓN es el conjunto de números ordenados mediante una regla o ley de formación. Cada uno de los números ordenados se llama término. El término general o genérico nos señala la ley de formación. Las sucesiones más importantes son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Los intereses bancarios, las anualidades de capitalización o las mensualidades de amortización de préstamos son progresiones, bien aritméticas o bien, la mayoría, geométricas.

3 Progresiones geométricas
Es una sucesión en la cual cualquier término es igual al anterior multiplicado por una constante, r , llamada RAZÓN . an = a1 , a2 , a3 , a4 , …, ak , …, an-1 , an Deducimos la fórmula principal: a1 = a1 a2 = a1 . r a3 = a2 . r = a1 . r2 a4 = a3 . r = a1 . r3 ……………… an = an-1 . r = a1 . rn - 1 Fórmula: an = a1 . rn - 1 Y de ella despejamos a1 , n o d en caso necesario.

4 Suma de términos en P.G. a1 – an..r
Demostramos la fórmula de la suma: S = a1 + a2 + a3 + a4 , …, + ak , …, + an-1 , + an Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a1. r + a2.r + a3.r + , …, an-1 ,.r + an.r Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a1 ‑ an . r a1 – an..r S.(1 ‑ r ) = a1 ‑ an . r  S = 1 - r

5 EJEMPLO_1 En una PG el primer término vale 5 y la razón 2. Hallar el término séptimo y el término duodécimo. Tenemos: n-1 a = a . r n De donde: a = a = = = 320 a = a = La PG sería: {a } = 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … n

6 EJEMPLO_2 En una PG el primer término vale 5 y el quinto vale 125. Hallar la razón. Tenemos: n-1 a = a . r n De donde: a = a . r ,, = 5 . r ,, = r ,, r = √ 25 = √ 5 La PG sería: {a } = 5, 5 √ 5, 25, 25 √ 5 , 125, … n

7 EJEMPLO_3 En una PG el noveno término vale 10 y la razón vale 5. Hallar el primer término. Tenemos: n-1 a = a . r n De donde: a = a / = 10 / = 2 / 5 = 2. 5 La PG sería: {a } = , 2.5 , , … n

8 Ejemplo_4 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 Hallamos a64 = a = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 2 ) = = 1,8 . 10

9 Ejemplo_5 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 Hallamos a12 = a = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 4 ) = ( ) / 3 =

10 Ejemplo_6 Durante 5 años depositamos € al mes, al 5 % anual. Hallar el capital obtenido al cabo de los cinco años. La fórmula es: Cf = Co (1+ r/1200) m El 1º depósito: Cf1 = (1+ 5/1200)60 = ,28335 = 1.283,35 El 60º depósito: Cf60 = (1+ 5/1200) = ,00417 = 1.004,17 Sumemos las cantidades para hallar el capital final Veámoslo por la suma de las progresiones geométricas: a1 = 1004,17 , an = 1283,35 y r = 1,004167 a1 – an .r ,17 – 1283, ,18 S = = = = € 1 – r – 1, ,004167 Hemos invertido € y vemos que el beneficio ha sido de €