@ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROPORCIONALIDAD U.D. 4 * 3º ESO E.Ap.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO1 PROPORCIONALIDAD U.D. 4 * 3º ESO E.Ap.

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO2 REPARTOS PROPORCIONALES U.D. 4.5 * 3º ESO E.Ap.

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO3 PROPIEDAD Si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple siempre que la suma o resta de cantidades siguen siendo directamente proporcionales. a b a+ b --- = --- = k  ------- = k a’ b’ a’+b’ a b --- = k  a = a’.k ; ----- = k  b = b’.k a’ b’ a + b a’.k + b’.k k.( a’ + b’ ) a’ + b’ -------- = --------------- = ---------------- = k. ------------- = k a’+ b’ a’+ b’ a’ + b’ a’ + b’ Propiedad de proporcionalidad

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO4 Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. Magnitud “Ganancias”8  12  16 Magnitud “Horas trabajo”2  3  4 8+12 20 ------ = ----- = 4 2+3 5 12+16 28 --------- = ---- = 4 3+4 7 8+12+16 36 ------------- = ---- = 4, como vemos es un valor constante 2+3+ 4 9 Aplicación de la Propiedad

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO5 Hemos visto que se cumple en las magnitudes D. P.: a b c a+ b+c --- = --- = --- = ------------- = k a’ b’ c’ a’+b’+c’ Como: a a+ b+c a+b+c --- = ------------  a = a’. ----------- = a’.k a’ a’+b’+c’ a‘+b’+c’ En problemas de reparto nos suelen dar la cantidad total a repartir (S=a+b+c) y las cantidades directamente proporcionales (a’,b’,c’), quedando: S S S a = a’. -----------,, b = b’. ------------,, c = c’. ------------- a’+b’+c’ a’+b’+c’ a’+b’+c’ Repartos Directamente Proporcionales

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO6 EJEMPLO_1 Una madre reparte 60 € entre sus tres hijos, en razón directamente proporcional al número de semanas que la han ayudado en las tareas caseras, que han sido de 3,4 y 5 respectivamente. ¿Cuánto les ha correspondido a cada uno?. Aplicando la propiedad indicada arriba, tenemos: a b c a + b + c 60 --- = --- = --- = ------------- = ----- = k 3 4 5 3 + 4 + 5 12 Como k =60/12 = 5 a = 3.k = 15 b= 4.k = 20 c= 5.k = 25 Repartos Directamente Proporcionales

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO7 EJEMPLO_2 Un profesor de matemáticas reparte puntos extras entre cuatro alumnos que han buscado y solucionado problemas originales, en cantidad de 2, 4, 5 y 7 problemas respectivamente. Si al alumno que resolvió 4 problemas le correspondieron 0,75 puntos, ¿cuánto les ha correspondido a cada uno y cuántos puntos repartió en total?. Aplicando la propiedad, tenemos: a 0,75 c d S --- = ------- = --- = ------ = --- = k 2 4 5 7 18 Como k =0,75/4 = 0,1875 a = 2.k = 2.0,1875 = 0,375 c= 5.k = 5.0,1875 = 0,9375 d= 7.k = 7.0,1875 = 1,3125 S = 18.k = 18.0,1875 = 3,375 Repartos Directamente Proporcionales

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO8 Como en dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple siempre que: a.a’ = k 1 Podemos poner que a : ---- = k a’ 1 Luego a y ---- son directamente proporcionales. a’ Repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a los números 10, 5 y 2 es equivalente a repartir dicha cantidad en partes directamente proporcionales a 1 / 10 = 0,1, 1 / 5 = 0,2 y 1 / 2 = 0,5 Repartos Inversamente Proporcionales

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO9 EJEMPLO 1 Se venden tres máquinas por 1700 €, en razón inversamente proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10,20 y 50 años respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?. Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: a b c 1700 ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k 1/10 1/20 1/50 1/10+1/20+1/50 Como k =1700 /(0,1+0,05+0,02) = 1700 / 0,17 = 10000 a = k.0,1 = 10000.0,1 = 1.000 b= k.0,05 = 10000.0,05 = 500 c= k.0,02 = 10000.0,02 = 200 Repartos Inversamente Proporcionales

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO10 EJEMPLO 2 Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, en razón inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto les corresponde a cada uno?. Repartir de modo inversamente proporcional equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos. Por tanto, tenemos: a b c 100 ------- = ------- = -------- = ----------------------- = k 1/2 1/5 1/8 1/2+1/5+1/8 Como k =100 / (0,5+0,2+0,125) = 100 / 0,825 = 121,21 a = k. 0,5 = 121,21.0,500 = 60,60 € b= k. 0,2 = 121,21.0,200 = 24,24 € c= k.0,125 = 121,21.0,125 = 15,15 € Repartos Inversamente Proporcionales

11 Relojes (I) @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO11

12 Relojes (II) @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO12

13 Relojes (y III) @ Angel Prieto BenitoApuntes de Matemáticas 3º ESO13