Apuntes de Matemáticas 3º ESO

Presentación del tema: "Apuntes de Matemáticas 3º ESO"— Transcripción de la presentación:

1 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.Ap. SUCESIONES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
U.D * 3º ESO E.Ap. SUMA DE TÉRMINOS EN P.G. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Suma de términos en P.G. Demostramos la fórmula de la suma: S = a + a + a + a a a a k n‑1 n Si multiplico todo por la razón r, queda : S.r = a .r + a . r + a . r a .r + a .r n‑ n Restando una de otra expresión : S ‑ S.r = a ‑ a . r n a1 - an S.(1 ‑ r ) = a ‑ a . r  S = n r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
FÓRMULA ALTERNATIVA La fórmula anterior en muchas ocasiones hay que combinarla con la fórmula principal, quedando una nueva fórmula de la suma: n a . ( 1 – r ) 1 S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑ 1 – r EN CASO DE P.G. INFINITAS Y RAZÓN MENOR QUE 1 Al ser r<1, la potencia roo  0 Quedando la fórmula de la suma así: a . ( 1 – 0) a S = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--‑ = 1 – r – r @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_1 Hallar la suma de las 12 primeras potencias de 3. La P.G. sería: an = 3, 9, 27, … Donde a1 = 3 , r = 3 y n = 12 Como an = a1 . rn – 1 Hallamos a12 = – 1 = 312 Y aplicando la suma: S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (3 – 312.3) / (1 – 3) = Ejemplo_2 Hallar la suma de los 100 primeros términos de la siguiente progresión: an = 4, 2, 1, … Es una PG, donde a1 = 4 , r = ½ y n = 100 Hallamos a100 = 4 . (1/2) 100 – 1 = 4.0,599 = 4.1, – 30 = 6,31.10 – 30 S = (a1 - an r ) / (1- r.) = (4 – 6,31.10 – 30 .0,5) / (1 – 0,5) = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_3 Hallar la suma de las áreas de los infinitos cuadrados inscritos en uno de 8 cm de lado. El área del mayor será: A=l2 = 64 cm2 Como se puede apreciar en el dibujo, cada una de las áreas de los demás cuadrados es mitad del anterior. Las áreas forman la sucesión: 64, 32, 16, 8, 4, 2, … Que es una PG de razón r=1/2 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) S = 64 / (1 – 0,5) = 64 / 0,5 = 128 cm2 Ejemplo_4 Hallar el valor de: 1 – ¼ + 1/16 – 1/64 + 1/256 – … @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Ejemplo_5 Hallar la suma de las áreas de los infinitos triángulos equiláteros inscritos en uno de 4 cm de lado. La altura de un triángulo equilátero es: h = l.√3 / 2 En el triángulo grande: h = 4. √3 / 2 = 2. √3 El área será: A=b.h/2 = √3 / 2 = 4. √3 En el siguiente triángulo, de lado 2: h = 2. √3 / 2 = √3 El área será: A=b.h/2 = 2. √3 / 2 = √3 En el siguiente triángulo, de lado 1: h = 1. √3 / 2 = √3 / 2 El área será: A=b.h/2 = 1. (√3 / 2) / 2 = √3 / 4 Las áreas forman la sucesión: 4.√3 , √3 , √3 / 4 , … Que es una PG de razón r=1/4 , menor que la unidad. S = a1 / (1 – r) = 4.√3 / (1 – 0,25) = 16.√3 / 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_1 En un tablero de ajedrez se pone 1 € en la primera casilla, 2 € en la segunda, 4 € en la tercera y así sucesivamente hasta la 64ª casilla. Hallar la suma de todos los euros colocados. La P.G. sería: an = 1, 2, 4, 8, 16, … Donde a1 = 1 , r = 2 y n = 64 Hallamos a64 = a = 2 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 2 ) = = 1,8 . 10 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9 Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Problema_2 En una población un vecino se entera de una noticia importante y en una hora se la comunica a cuatro vecinos, cada uno de los cuales, también en una hora, la transmite a su vez a otros cuatro, y así sucesivamente. ¿Cuántos vecinos conocerán la noticia al cabo de 12 horas?. La sucesión de vecinos informados hora a hora sería: an = 1, 4, 16, … Está claro que es una P.G. donde a1 = 1 , r = 4 y n = 12 Hallamos a12 = a = 4 Y aplicando la suma S = (a1 - an r ) / (1- r.) queda: S = ( ) / ( 1 – 4 ) = ( ) / 3 = @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO