@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema 10 * Integrales DEFINIDAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.2 INTEGRAL INDEFINIDA Tema 10.1 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. 0 a b X Y F(x) f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.4 Tiempo Velocidad Área bajo la curva = Espacio recorrido por el móvil Velocidad = f (Tiempo) Aplicación 1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.5 Tiempo Potencia Área bajo la curva = Energía consumida Potencia = f (Tiempo) Aplicación 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.6 Tiempo Área entre las curvas = Aumento de población Indice de natalidad = f (Tiempo) Indice de mortalidad = f (Tiempo) 1 Aplicación 3

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.7 Cálculo de áreas Área del cuadrado/rectángulo A=b.h Área del triángulo A=b.h / 2 Área del trapecio A=(B+b).h / 2 Área de un polígono A=P.Apo / 2 Área de la semicircunferencia A=π.r 2 / 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.8 Cálculo de áreas por integrales f(x)=x 3 – 6x x f(x)=ln x f(x)=3 x f(x)=sen x

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.9 INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DE RIEMANN Sea y = f(x) una función continua con valores positivos en un intervalo cerrado [a, b]. Representamos la función. Y ahora queremos hallar el área comprendida entre la función y el eje de las x. Para ello dividimos el intervalo [a, b] en ‘n’ partes iguales. Tenemos así ‘n’ rectángulos. Sumando las áreas de los rectángulos de menor altura, tendremos una aproximación por defecto del área pedida. Sumando las áreas de los rectángulos de mayor altura tendremos una aproximación por exceso del área pedida. Si la base de dichos rectángulos fuera más pequeña, las sumas por defecto y por exceso se aproximarían. Si el numero de subintervalos fuera infinito, ambas sumas tenderían a coincidir en un valor que sería el área buscada. La integral definida se puede considerar como la suma de infinitos rectángulos en un intervalo [a, b] cuya base ( de valor ‘p’ ) tiende a cero. O sea como un límite: b lím SUMA = lím suma = ∫ f(x) dx p  0 p  0 a

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.10 Gráfico de Riemann Queremos hallar el área comprendida entre la función y=f(x) y el eje de abcisas, entre x=a y x=b. La zona azul vemos que es una aproximación burda por exceso del área pedida. La zona roja vemos que es una aproximación burda por defecto del área pedida. El área que nos interesa calcular estará comprendida entre ambas. Para aproximarnos al área pedida tendremos que dividir más las zonas, hacer particiones. 0 a b y = f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.11 La zona azul, aunque ahora dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por exceso del área pedida. La zona roja, aunque dividida en dos, vemos que es una aproximación burda por defecto del área pedida. El área que nos interesa calcular estará comprendida entre ambas. Para aproximarnos al área pedida tendremos que dividir más las zonas. 0 a b y = f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.12 La zona azul, Suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es superior al área de la figura. La zona roja, suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es inferior al área de la figura. Si en lugar de dividir la base en 5 particiones, fuera en 50, 500, 5000, … la zona azul y roja tenderían a igualarse b Lím S = ∫ f(x) dx = Area p  0 a 0 a b y = f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.13 La zona azul, Suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es superior al área de la figura. La zona roja, suma de los rectángulos que se forman con n particiones, es inferior al área de la figura. Si en lugar de dividir la base en 5 particiones, fuera en 50, 500, 5000, … la zona azul y roja tenderían a igualarse b Lím S = ∫ f(x) dx = Area p  0 a 0 a b y = f(x)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.14 Idea del cálculo de áreas La función y = f(x) nos dará en todo momento la altura del rectángulo utilizado en cada partición. La anchura del rectángulo, el ancho, hemos visto que cada vez es más pequeño, de forma que su valor es un infinitesimal (un número excesivamente pequeño, tendente a cero). Esa anchura, igual para cada partición, lo llamamos dx (diferencial de x). El área de un rectángulo cualquiera será A= f(x).dx Y el área total será la suma de los infinitos rectángulos que la componen: b A = ∫ f(x) dx a 0 a dx b y = f(x)