Cálculo diferencial (arq) Gráficas de funciones polinómicas.

Trazado de curvas polinómicas Lo aprendido hasta el momento contribuirá en gran medida a desarrollar nuestra destreza para trazar curvas. Se usará la siguiente estrategia que aquí ponemos en forma abreviada. a.Derivadas b.Puntos críticos de f c.Extremos relativos y monotonía d.Puntos de inflexión e.Concavidad f.Trazado

Estrategia para el trazado de curvas a.Derivadas. Se hallan f ' (x) y f " (x). No olvidar, de ser posible, presentar la derivada en su forma factorizada; esto será más conveniente en los pasos siguientes. b.Puntos críticos de f. Sólo cuando se trata de polinomios, observar que no hay puntos donde la derivada no exista, en consecuencia, los puntos críticos serán aquellos donde la derivada es 0. Estos números producen candidatos para ser máximos o mínimos relativos. Se debe hallar el valor de la función en estos puntos.

c.Extremos relativos y monotonía. Se usan los puntos críticos de f del paso b. para definir los intervalos. Se determina si f es creciente o decreciente en los intervalos. Esta parte se efectúa usando el criterio de la primera derivada para función creciente o decreciente. El criterio de la primera derivada también nos permite determinar si un punto crítico es máximo o mínimo relativo.

d.Puntos de inflexión. Se escogen los candidatos a ser puntos de inflexión, determinando dónde f  = 0 ó dónde f  no existe. Se hallan los valores de la función en estos puntos. e.Concavidad. Se usan los candidatos a puntos de inflexión del paso d., con el fin de definir los intervalos. Se determina la concavidad hallando dónde f ' es creciente, es decir f  > 0 o dónde f ' es decreciente, es decir f  < 0

f.Trazado. Se elabora la gráfica, usando la información de los pasos a hasta e, y, si es necesario marque algunos puntos adicionales que se pueden determinar con calculadora. No olvide que la gráfica de un polinomio es una curva suave, sin cambios bruscos ni puntos angulosos.

Ejemplo 1 Trazar la gráfica de

Máximo relativo Mínimo relativo Punto de inflexión Creciente Decreciente Cóncava hacia abajoCóncava hacia arriba (–2; 0)

Ejemplo 2 Hallar los máximos, mínimos, etc. y graficar la función

     x y (0; 0)

Ejemplo 3 Analizar y trazar la gráfica de

Resolver: Página 321 Sección 4.5 N° 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 19.