Problemas de optimización

Habilidades Identifica los tipos de problemas de optimización. Resuelve problemas de optimización, siguiendo instrucción heurística.

Problemas de optimización Se va a producir una lata para que contenga 1L de aceite. Encuentre las dimensiones que minimicen el costo del metal para fabricar la lata. h r V = 1000 cc

Algunas combinaciones Radio (cm) Altura (cm) 2 79.6 4 6 8 19.9 8.86 4.97 10 3.18

Latas de un litro r = 2 r = 4 r = 6 r = 8 r = 10

Fabricación de la lata r 2pr h r

Usando Derive para ver la gráfica Material requerido r (cm) 2 h (cm) 79.60 S (cm2) 1025 4 6 8 10 600 560 652 828 8.84 4.97 3.18 19.90 S(r) = 2000/r + 2pr2 Usando Derive para ver la gráfica

Estrategia Introducir variables en la figura que permitan describir las diferentes alternativas del problema. Plantear la función objetivo. Expresar la función objetivo en términos de las variables antes definidas (ecuación de enlace). Hallar relaciones entre las variables que permitan expresar la función objetivo en términos de una variable. Precisar el intervalo de decisión. Análisis en los extremos del intervalo. Análisis en el interior del intervalo. Valor optimo. Respuesta con su respectiva unidad.

Problema2 Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un río recto. No necesita cercar a o largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande? Área x y

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION DE UNA VARIABLE Se tratan de problemas en lo cuales se desea encontrar la solución optima Una o más ecuaciones de enlace Una función objetivo Un intervalo de decisión

Una figura que ilustre las condiciones del problema Encontrar el radio de la base del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de radio R. ¿Cuál es el volumen máximo? Una figura que ilustre las condiciones del problema

El radio que produce el cilindro de volumen máximo es : respuesta El radio que produce el cilindro de volumen máximo es : y el volumen máximo es :

Problema 4 Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. (x,y) x y O r -r 2x Área visualcalculus

Problema 4 Encuentre el área del rectángulo más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio r. O r rcosΘ rsenΘ Θ Área

Problema 5 Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas de una costa rectilínea y quiere llegar a una choza ubicada en la costa que se encuentra a 6 millas del punto de la costa más próximo al bote. Se sabe que la mayor velocidad que este hombre puede alcanzar remando es de 3 mi/h, pero caminando puede ir a 5 mi/h. Se quiere determinar la trayectoria que le permite llegar al pueblo en el menor tiempo.

6 millas 2 millas

Posibles trayectorias 6 millas 2 millas

Respuesta El hombre debe remar hasta un punto de la costa a 4.5 millas del pueblo y continuar a pie por la costa.

Problema 6 Una partícula se mueve describiendo una trayectoria , determine el punto de la parábola más cercano al punto

Ejercicio 7 Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún punto del suelo entre ellos. ¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor cantidad de cable posible?

Problema 8 La resistencia de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cuadrado de su espesor. Determine las dimensiones de la viga de mayor resistencia que pueda cortarse de un tronco con forma de cilindro circular recto de radio 72 cm. 72 cm

Problema 9 Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta en dos partes. Con una parte se hace una circunferencia y la otra se dobla en forma de cuadrado. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que: El área total de las dos figuras sea la mínima posible. El área total sea la máxima posible.

Problema 10 En una fábrica se elaboran dos productos A y B si el costo total de producción al día es C = 3x2 + 42y, donde x es el número de máquinas usadas en la producción de A, y es el número de máquinas usadas en la producción de B y el total de máquinas es 15. ¿Cuántas máquinas deben usarse en la elaboración de A y B para que el costo total sea mínimo?

Problema 11 Dos aviones A y B vuelan a la misma altura horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20 km/min, determine en cuántos segundos los aviones estarán lo mas cerca posible y a qué distancia. 20 km B A N E S W

Problema 12 Un generador de corriente directa tiene una fuerza electromotriz de E voltios y una resistencia interna de r ohms, donde E y r son constantes. Si R ohms es la resistencia externa, entonces la resistencia total es (R+r) ohms y la potencia P watts será: Demuestre que el consumo máximo de potencia ocurre cuando R = r.

Problema 13 En una comunidad particular, cierta epidemia se propaga de modo que x meses después del inicio de la epidemia, P es el porcentaje de la población infectada donde: ¿En cuántos meses se infectará el número máximo de personas y qué porcentaje de la población será este?

Problema 14 Un hotel cobra $ 80 por habitación, y da precios especiales a grupos turísticos que reserven entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de 30 cuartos, el precio por habitación disminuye en $ 1 por cada cuarto arriba de los 30. ¿ Cuál es el tamaño del grupo que aporta al hotel una ganancia máxima si cada cuarto ocupado le cuesta al hotel $ 6 cada día por limpieza y mantenimiento?

Problema 14 Para que un paguete pueda enviarse, por correo es necesario que la suma de su altura con perímetro de su base no exceda 108 pulgadas. Halle las dimensiones de la caja con base cuadrada de mayor volumen que se pueda enviar por correo.

Problema 15 Para la construcción de una obra, hay que llevar tramos de tuberías a través de un pasillo cuya vista en planta se acompaña. Para minimizar el número de empates posteriores, se quiere que los tramos de tubo sean los mayores posibles.¿ Qué longitud deben tener? 3 m 2 m

Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 4.7 Ejercicios 4.7 pág 334: 7, 8, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 20, 31, 32.