Sesión 3 AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS Dra. Nieves Vílchez G. GEOMETRÍA EUCLIDEANA Sesión 3 AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS Dra. Nieves Vílchez G.

Axiomas y Teoremas Básicos Axiomas sobre puntos, rectas y planos Axiomas de separación del plano Axiomas de separación del espacio Teoremas Definiciones a partir de axiomas y teoremas. Definición de sistema de coordenadas

Axiomas 1. Postulado de la recta: Dados dos puntos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene A B 2. Postulado sobre plano y espacio: a) Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados. b) El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano

3. Postulado : B A Más….Axiomas Si dos puntos están en un plano entonces la recta esta en el mismo plano. A B

5. Postulado : recta Mas..Axiomas 4. Postulado del Plano : tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres puntos cualesquiera no colineales están exactamente en un plano. Plano 1 Plano 2 recta 5. Postulado : Si dos planos diferentes se cortan, su intersección es una recta.

Axioma de separación del plano 6. Postulado : Se da una recta y un plano que la contiene. Los puntos que no están en la recta forman dos conjuntos tales que: a) Cada uno de los conjuntos ex convexo y b )Si P esta en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ corta a la recta. A B convexo P Q

Axioma de separación del espacio 7. Postulado : Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman conjuntos tales que: a) cada uno de los conjuntos es convexo b) si R esta en uno de los conjuntos y S esta en el otro, entonces el segmento RS intersecta al plano. R H1 Q P V U T H2 S

Teoremas Basados en los axiomas anteriores podemos probar varios teoremas. Mostremos un caso y dejamos otros para que el lector los resuelva. Como consecuencia del Postulado del Plano: TEOREMA: Dado una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene a ambos. E l . P R S

DEMOSTRACIÓN Sean R y S puntos distintos de la recta l, existen debido al Postulado 1. Consideramos entonces los puntos R, S y P que son no colineales, pues P es punto P fuera de la recta l . Luego, R, S y P por Postulado del plano, están contenidos en un único plano, que era lo que se quería probar en este primer teorema. E l . P R S

Otros teoremas…. Probar los siguientes Teoremas: Si una recta intersecta a un plano que no la contiene , entonces la intersección contiene un solo punto. 2. Dadas dos rectas que se intersectan, hay exactamente un plano que las contiene.

Definiciones a partir de los axiomas Conjunto Convexo: Un conjunto A se dice convexo , si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo el segmento PQ está en A. Dada una recta y un plano que la contiene, los dos conjuntos determinados por el Postulado de separación del plano, se llaman semiplanos o lados de l . Y l se llama la arista o el borde de cada uno de ellos. EJERCICIO: Atendiendo al Postulado de separación del espacio define semiespacio.

Sistema de Coordenadas Postulado de la distancia: A todo par de puntos distintos , le corresponde un único numero AB, llamado la distancia entre A y B. Un Sistema de Coordenadas sobre una recta es una correspondencia 1-1 entre los números reales y los puntos de la recta, de manera que la distancia entre dos puntos cualquiera el valor absoluto de la diferencia de las coordenadas. A B a b -2 -1 1 2 BA = AB = |a-b |= |b-a|

Ejemplos de Sistema de Coordenadas En el siguiente ejemplo consigue la coordenada de B y de A .Y la distancia AB. Reflexiona sobre ejemplos de la vida real que ilustran sistemas de coordenadas. Ejemplo: El termómetro o el dial radial. B A -4 a 2 b 4 -2 Solución: A= - 3 y B= 3 BA = AB = |-3 -3 |= |3- (-3)|= |-6|= 6