1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Número complejo en forma binómica a + bi a y b reales, i unidad imaginaria a es la parte real bi es la parte imaginaria Número complejo a + bi Si b = 0 → a + bi = a es real Si a = 0 → a + bi = bi es imaginario puro Si a = 0 y b = 0 → a + bi = 0 + 0i es el número complejo cero Unidad imaginaria iNúmeros complejos conjugados Tienen la misma parte real y la parte imaginaria de signo contrario z = a + bi, su conjugado z = a - bi

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (I) Suma de números complejos Se suman por separado las partes real e imaginaria (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Propiedades de la suma de números complejos Asociativa Conmutativa Elemento neutro 0 + 0i Elemento opuesto –(a + bi) = -a -bi Producto de números complejos (a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac – bd) + (ad – bc)i Propiedades del producto de números complejos Asociativa Conmutativa Elemento neutro 1 + 0i Elemento inverso (excepto el cero) Distributiva respecto de la suma (a + bi)· [(c + di) + (e + fi)] = (a + bi)·(c + di) + (a + bi)·(e + fi)

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA (II) Potencias de i i 0 = 1 i 4 = i 3 ·i = 1 i 1 = i i 5 = i 4 ·i = i i 2 = -1 i 6 = i 5 ·i = -1 i 3 = i 2 ·i = -i i 7 = i 6 ·i = -i ………… …… Las potencias de i se repiten de cuatro en cuatro. Para hallar una potencia de i se divide el exponente entre 4 y se calcula la potencia de i cuyo exponente sea el resto de la división Potencias de números complejos (a + bi) n = (a + bi)· (a + bi)· ………………… (a + bi) n veces Cociente de números complejos Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador a + bi c + di = a + bi c + di · c- di c- di = (ac + bd) + (bc- ad)i c 2 + d 2 = (ac +bd) c 2 + d 2 + (bc -ad) c 2 + d 2 i El producto de un número complejo z y su conjugado z es un número real z · z = (a + bi) · (a – bi) = (a 2 – b 2 i 2 ) + (ab – ab)i = a 2 + b 2

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Números reales positivos: argumento 0° Números reales negativos: argumento 180° Nú meros imaginarios puros bi: O Si b > 0: argumento 90° O Si b < 0: argumento 270° Forma polar de z Un n ú mero complejo z= a + bi se expresa en su forma polar o m ó dulo argumental z = m α donde m es el m ó dulo y el argumento de z, respectivamente. Caracter í sticas de n ú meros complejos en forma polar  m α = m ’ β m = m ’ y α = β + k · 360° k entero  El complejo conjugado de m α es m -α = m 360°- α   El complejo opuesto de m α es m α + 180° z= a + bi P (a, b) M ó dulo de z: m = |z| = Argumento α de z : tg α = b a

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO ¡OJO! Paso de forma trigonométrica a forma polar de: z = m (cos α - i sen α ) = m [cos (- α ) + i sen (- α )] = m -α ya que cos α = cos (– α ) y sen α = - sen (- α ) Forma trigonométrica de z cos α = a = m cos α sen α = b = m sen α z = a + bi = (m cos α ) + (m sen α ) i = m (cos α + i sen α )

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A Hacer clic en la pantalla para avanzar OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Producto de números complejos m α · m’ β = (m · m’) α+β Potencias de números complejos (m α ) n = m n nα En forma trigonométrica se cumple: (m α ) n = [m (cos α + i sen α)] n m n nα = m n [cos (nα) + i sen (nα)] De donde se deduce la fórmula de De Moivre: (cos α + i sen α) n = [cos (nα) + i sen (nα)] Radicación de números complejos Buscamos la raíz n-ésima r θ de m α que cumple: (r θ ) n = m α r n nθ = m α Módulo r θ : r n = m r = Argumento r θ : nθ – α = k·360° θ = Por tanto, todas las raíces n-ésimas de un número complejo son: α + k·360  n n m α = ( m) α+k ·360  con k = 0,1,…,n-1 n n Cociente de números complejos = m α m m’ β m’ α-β ( ) Inverso de un número complejo  m α m α m 0  -α m -a m 360°-a = = = = ( )