MATEMÁTICAS II 2º BACH CYT ANÁLISIS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS II 2º BACH CYT

Límites Continuidad Derivabilidad Teoremas de continuidad y derivabilidad Aplicaciones de la derivabilidad: tangente a una curva en un punto, regla de L´Hôpital, optimización, cálculo parámetros, derivadas sucesivas Representación de funciones Integral indefinida Integral definida. Cálculo de áreas de recintos planos

REPASO 1º BACH CÁLCULO DE LÍMITES DERIVADAS GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES PROPIEDADES DE FUNCIONES DE FORMA GRÁFICA

REGLA DE L`HÔPITAL para el cálculo de límites (pág 298) Aunque es un contenido de 2º de BACH y habría que estudiarlo después de derivabilidad, se considera necesario verlo en este momento pues se va a aplicar a continudidad y derivabilidad. Por otra parte, se puede entender sin ningún problema porque en 1º de BACH ya se vio derivabilidad y en este curso se ha repasado el cálculo de derivadas.

Ejemplos

Ejemplos

Ejemplos

Salvando indeterminaciones del tipo ∞ - ∞ Realizar la operación para convertir la indeterminación en una del tipo 0/0 ó ∞ / ∞ Ejemplos:

Ejemplos

GRÁFICAS DE FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES POLINÓMICAS (Dominio = R) FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA o LINEAL: y = m·x

FUNCIONES AFINES: y = mx + n

FUNCIONES CUADRÁTICAS o PARABÓLICAS y = ax2 + bx +c Su gráfica es una parábola El vértice se encuentra en x = -b/2a . La coordenada y se calcula hallando la imagen de x. Si no te acuerdas de este valor, recuerda que el vértice es el máximo o mínimo de la parábola y, por tanto, basta con que resuelvas la ecuación y ‘ = 0 Si a>0 el vértice es un mínimo, si a<o el vértice es un máximo Puntos de corte con los ejes de coordenadas: * Eje x: resolver la ecuación y = 0. (Puede tener 2 soluciones ( 2 cortes), 1 (1 corte) o ninguna (no corta al eje x) * Eje y: hacer x =0. (Siempre corta a este eje)

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: y = k/x (Dominio = R – {0}) Su gráfica es una hipérbola K es la constante de proporcionalidad inversa Si k>0, la gráfica está en el 1º y 3º cuadrantes, si k<0, está en el 2º y 4º cuadrante Los ejes son asíntotas de la función. y = 1/x y = -1/x

FUNCIÓN EXPONENCIAL: y = ax Domino = R Si a>1, la función crece; si a<1, decrece El eje x ( y = 0)es una asíntota horizontal por la izquierda (a>1) o por la derecha (a<1) Corta al eje de ordenadas en y =1

FUNCIÓN LOGARÍTMICA: y = logax Dominio = (0, +∞) Corta al eje de abscisas en x = 1 Si a>1, la función crece; si a<1, decrece. El eje de ordenadas (x = 0) es una asíntota vertical por abajo (a>1) o por arriba (a<1)

LAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS: simétricas r LAS FUNCIONES EXPONENCIAL y LOGARÍTMICA SON INVERSAS: simétricas r. de la bisectriz del 1º y 3º c. y = 3x y = log3x

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS y = senx - Dominio = R - Periódica: T = 2π - Recorrido: [-1,1]

y = cosx - Dominio = R - Periódica: T = 2π - Recorrido: [-1,1]

y = tgx - Dominio = R-{(2k+1)π/2 , k ϵZ} - Periódica: T = π - Asíntotas verticales en x= (2k+1)π/2, kϵZ

FUNCIONES A TROZOS

VALORES ABSOLUTOS

FUNCIÓN PARTE ENTERA

PROPIEDADES FUNCIONES Dominio Recorrido Puntos de corte ejes coordenadas Simetría Periodicidad Continuidad Asíntotas Monotonía y Extremos relativos y absolutos Curvatura y Puntos de inflexión

EJEMPLOS P(2,-1) es m.r y P.I.

EJERCICIOS: propiedades Pág 205: 9 a, d, e y g

EJERCICIOS: representa –f(x) y |f(x)

EJERCICIOS: dibujar gráficas correspondientes a estas funciones Pág. 205 y 206: 11 , 18, 23 Pág. 230: 1 y 2

EJERCICIOS DE REPASO Pág 202: 4 (está hecho) Pág 195: 5 (está hecho) Pág 205: 12a Pág 207: 9 (autoevaluación) Pág 213: 4 (está hecho) Pág 228: 1a (está hecho) Pág 231: 10 (solución a = 1) Pág 232: 14 Pág 232: 19 a (solución a = 2) Pág 233: 4 (autoevaluación) Representa las siguientes funciones: (están hechas en las págs 237 y 238) f(x) = 𝑥 + |𝑥| 𝑥 f(x) = |x - 3| 𝑓 𝑥 = 𝑥 1+ 1 𝑥 𝑠𝑖 𝑥≠0 1 𝑠𝑖 𝑥=0

CONTUNIDAD (tema 10)

Esta función es continua en x = 2

Esta función es continua en x = 0-

Esta función es continua en x = 0+

3- DISCONTINUIDAD EN x = a Por abuso del lenguaje, aunque f(x) no esté definida en x = a también se estudia ahí la continuidad. Habrá que estudiar qué tipo de discontinuidad existe. Estas funciones son discontinuas evitables en x = 2

Esta función es discontinua evitable en x = o

Ejemplo:

Este tipo de discontinuidad se puede evitar redefiniendo la función y haciendo que f(a) sea el límite de la función en x = a. Ejemplo:

EJEMPLO

Esta función es discontinua de salto finito en x = 0   Esta función es discontinua de salto finito en x = 0

Estas funciones son discontinuas de salto infinito en x =0

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO f(x) es continua en (a,b) si lo es en todos sus puntos. f(x) es continua en [a,b] si lo es en (a,b), en a+ y en a-. f(x) es continua si lo es en su dominio

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES  

SE PUEDE PEDIR EL ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN: * UN PUNTO * EN UN INTERVALO ABIERTO * EN UN INTERVALO CERRADO * EN EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN EN LA PRÁCTICA NO SE PUEDE ESTUDIAR LA CONTINUIDAD PUNTO A PUNTO: * EN EL PRIMER CASO, SE ESTUDIA EN EL PUNTO PEDIDO. * EN EL RESTO DE LOS CASOS, SE ESTUDIA EN LOS PUNTOS PROBLEMÁTICOS (PUNTOS DONDE LA FUNCIÓN CAMBIA DE EXPRESIÓN A IZQUIERDA Y DERECHA o PUNTOS DONDE SE ANULA EL DENOMINADOR) Y EN EL RESTO DE LOS PUNTOS ( LOS INTERVALOS) SE GENERALIZA POR SER OPERACIONES DE FUNCIONES CONTINUAS

EJERCICIOS Pág 241: 5 (continuidad gráfica) Pág 256: 24 (valor absoluto, composición y continuidad) Pág 257: 8 (parámetros continuidad y pasar por un punto) Pág 256: 34 (sólo hacer continuidad en [0,3]) Estudia la continuidad de la función f(x) en x = 0. Estudia la continuidad de la función

Halla los parámetros “a” y “b” para que la función f(x) sea continua en R. ¿Es continua la función f(x) = (x-senx)/senx2 en el intervalo [-π/2, π/2]? ¿Es posible asignar un valor a f(x) en x = 0 para que la función sea continua? Define la función para que sea continua en ese intervalo Razona si la siguiente función es continua en x = 0

Pág 254: 1, 2, 6a, 7 a,b, 8

DERIVABILIDAD (tema 11)

DERIVABILIDAD EN x = a  

EJERCICIO Calcula f ‘ (3) aplicando la definición f(x) = x2 Calcula f ‘ (3) derivando f(x)

DERIVABILIDAD LATERAL EN x = a 𝒇 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 𝒅𝒆 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 lim ℎ→ 0 + 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ ∈𝑅 A dicho límite se le llama derivada por la derecha de x = a y se representa f ‘( 𝒂 + ) 𝒇 𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒙=𝒂 𝑠𝑖 lim ℎ→ 0 − 𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎) ℎ ∈𝑅 A dicho límite se le llama derivada por la izquierda de x = a y se representa f ‘( 𝒂 − )

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN f(x)  

EJERCICIO: Pág 267: 1. Calcula la derivada de f(x) = 3x-2x2 aplicando la definición

  Si f(x) no es continua en x = a → no es derivable en x = a

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE f’(a) i.e.: f ’ (a) = pendiente (m) de la recta tangente en x = a

EJEMPLO: f(x) = |x2-4| No es derivable en x= -2 ni en x = 2 SE DEDUCE Gráficamente una función f(x) es derivable en x = a si la función no presenta picos en (a,f(a)) y es continua en x = a i.e.: f(x) no es derivable en x = a si la función presenta picos en (a,f(a)) o no es continua en x = a EJEMPLO: f(x) = |x2-4| No es derivable en x= -2 ni en x = 2

DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. OPERACIONES  

EN LA PRÁCTICA: - Antes de estudiar la derivabilidad comenzaremos estudiando la continuidad, aunque no nos lo pidan: * Si f(x) no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a * Si f(x) es continua en x =a, entonces puedo estudiar la derivabilidad - Igual que se indicó en la continuidad, solo se estudiará la derivabilidad en los puntos aislados pedidos. Si se pidiera en un intervalo o en el dominio, se estudiaría en los puntos problemáticos y en el resto se generalizaría.

EJERCICIOS Derivabilidad gráfica: pág 264, 280:1 Interpretación geométrica derivada: pág 281:1 Pág 261- 1(resuelto) Estudia la derivabilidad en x = 1. f(x) = 𝑥 2 −2𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤1 𝑥−2 𝑠𝑖 𝑥>1 Pág 282: 3 (derivabilidad en un punto) Derivabilidad en [-2,0] de f(x) = 1 𝑥 𝑠𝑖 −2≤𝑥≤−1 𝑥 3 −3 2 𝑠𝑖 −1<𝑥<0

Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |x2-9| Pág 265- 5 (resuelto). Parámetros para que sea derivable en x = 0 f(x) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤0 − 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥>0 Pág 284- 17 (derivabilidad y f’(x)) f(x) = 𝑥 1+|𝑥| Calcular b y c sabiendo que la función es derivable en x = 0. f(x) = 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑠𝑖 𝑥≤0 ln⁡(𝑥+1) 𝑥 𝑠𝑖 𝑥>0

Sea f(x) = 𝑙𝑛𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥>1 2 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥≤1 Dada la función f(x) = x|x-1|, estudia su derivabilidad y escribe su derivada. Estudia la derivabilidad de la función f(x) = |𝑥−2| 𝑥 y calcula su derivada. Sea f(x) = 𝑙𝑛𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥>1 2 𝑥 2 +𝑎𝑥+𝑏 𝑠𝑖 𝑥≤1 a- Calcula “a” y “b” para que la función f(x) sea continua y su gráfica pase por el origen de coordenadas. b- Para los parámetros calculados, estudia su derivabilidad.