Multiplicadores de Lagrange Cálculo Vectorial ¿Cómo optimizar una función cuando sus variables están sujetas a una restricción?
Joseph-Louis Lagrange 1736 - 1813 France El método que nos permitirá responder a ésta pregunta se encuentra en un artículo sobre Mecánica que Lagrange escribió cuando tenía 19 años !
Un extremo condicionado de una función F es un máximo o mínimo de F, cuando (x,y) pertenece a una curva del plano g(x,y) = K, en el dominio de F. Es decir, (x,y) satisface una condición o restricción. Máximo relativo Máximo condicionado Y- 2x = 4
Figure 11.57.
El método Sean F(x,y) la función objetivo y g(x,y) = K la restricción. F y g suaves. Si F tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a g(x,y) = K en el punto (x0,y0) entonces existe un escalar tal que:
La curva de nivel más alta que intersecta a la curva restricción g(x,y) = k F(x,y) = C Y- 2x = 4
F(x,y) = 9- x2 – y2 Máximo relativo G(x,y) = x + y = 3 x + y = 3 Máximo condicionado
Multiplicador de Langrange G(x,y) = x + y = 4 F(x,y) = 9 - x2 – y2 G(x,y) = x + y = 3 Multiplicador de Langrange M = 9/2 es el valor extremo de F(x,y) sujeta a la restricción G(x,y) = 3 y K = 1 entonces: = -3. Lo cual significa que el valor máximo disminuye en 3. M/K
1 Figure 11.63. Cúal es la función objetivo? Qué superficie es? Cuál es la restricción? Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo? Cuál es el valor de 1
2 Cúal es la función objetivo? Qué superficie es? Cuál es la restricción? Cuál es el Máximo?, Cuál es el valor mínimo? Cuál es el valor de 2
3 Dadas la función objetivo: y la función restricción: x + y = 1 Hallar el Máximo restringido. Cómo comprueba que es máximo? Cuál es el valor mínimo restringido? Hallar el valor Interprete este valor. 3
Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular Se disponen de 320 mts de cerca para encerrar un campo rectangular. ¿Cómo debería colocarse la cerca, de manera que el área encerrada sea lo más grande posible? Cuál es la mayor área encerrada? Interprete el valor del multiplicador de Lagrange en términos de la cerca. 4