Lic. Daniel H. Torres Quequezana Circunferencias Trigonométricas Lic. Daniel H. Torres Quequezana skanito1@hotmail.com

Elementos de la circunferencia Se tiene los siguientes elementos: O (0 ; 0): Origen de la circunferencia. A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de cualquier magnitud. B (0 ; 1): Origen de complementos. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos. B’ (0 ; -1): Sin denominación específica. P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y) (+) B(0;1) A(1;0) (-) B’(0;-1) A’(-1;0) R = 1

2. Líneas trigonométricas. Línea seno Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal. B A B’ A’ 1 P(x;y) θ Q En el OQP: Sen θ = PQ OP 1 y . . . Sen θ = y De la figura: Sen AP = Sen θ = PQ = y

Análisis de la línea seno Valores Cuadrantales. -------------------------- -1 1 +∞ -∞ 180º 360º 0º 270º 90º -1 ≤ Sen α ≤ 1 0º 90º 180º 270º 360º Sen 1 -1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 0 a 1 Creciente (+) Q2 1 a 0 Decreciente Q3 0 a -1 (-) Q4 -1 a 0

----------------------- Línea Coseno Representación: B B’ A A’ 1 P(x;y) θ Q ----------------------- N Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. En el PNO: Cos θ = NP OP 1 x . . . Cos θ = x De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x

Análisis de la línea coseno 90º -------------------------- -1 1 +∞ -∞ 180º 360º 0º 270º -1 ≤ Cos α ≤ 1 Valores Cuadrantales. 0º 90º 180º 270º 360º Cos 1 -1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 1 a 0 Decreciente (+) Q2 0 a -1 (-) Q3 -1 a 0 Creciente Q4 0 a 1

Línea Tangente Representación: . . . B B’ A A’ 1 T( 1 ; y1 ) θ P Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el TAO: Tg θ = AT OA 1 y1 . . . Tg θ = y1 De la figura: Tg AP = Tg θ = AT = y1

Análisis de la línea tangente 180º -------------------- ---------------- -------------- ---------- ---------------------- ------------------- ------------ -------------------------------------------------------- ----- ------------------ ---- ----------------------------------- ------------------------------------- 90º 360º 270º 0º -∞ +∞ - ∞ < Tg α < +∞ Tg 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 0 a +∞ Creciente (+) Q2 -∞ a 0 ( - ) Q3 Q4

Línea cotangente Representación: . . . B B’ A A’ 1 T( x1 ; 1 ) θ P Es una parte de la tangente que pasa por el origen de complementos B(0; 1), se empieza a medir a partir de ese origen y termina en la intersección de la tangente mencionada con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco. En el TBO:Cotg θ = BT BO 1 x1 . . . Cotg θ = x1 De la figura: Cotg AP =Cotg θ = BT = x1

Análisis de la línea cotangente - ∞ < Cotg α < +∞ 270º -------------------- ---------------- -------------- ---------- ---------------------- ------------------- ------------ -------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------- ----- ------------------ ---- ----------------------------------- ------------------------------------- 90º 0º +∞ -∞ 180º 360º Valores Cuadrantales. cotg 360º 270º 180º 90º 0º Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 +∞ a 0 Decreciente (+) Q2 0 a -∞ ( - ) Q3 Q4

Línea Secante Representación: . . . B B’ A A’ 1 T( x2 ; 0 ) θ P Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen del arco, se empieza a medir del centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco: OP En el O P T : Sec θ = OT 1 x2 . . . Sec θ = x2 De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2

Análisis de la línea secante 1 -1 Sec 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. -∞ ------------------------------ ------------------------- ---------------------- ------------------- ---------------- -------------- ------------------ --------------------- ------------------------ 270º 90º -1 1 +∞ Sec  ≤ -1 U Sec  ≥ 1 Variación cuadrantal. Cuadrante Variación Comportamiento Signo Q1 1 a +∞ Creciente (+) Q2 -∞ a -1 ( - ) Q3 -1 a -∞ Decreciente Q4 +∞ a 1

Línea Cosecante. Representación: . . . B B’ A A’ 1 θ P T( 0 ; x2 ) Es una parte del diámetro prolongado que pasa por el origen de complementos, se empieza a medir en el centro de la circunferencia y termina en la intersección del diámetro prolongado con la tangente geométrica trazada por el extremo del arco. De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2 En el OPT : Cosec θ = OT OP 1 y2 . . . Cosec θ = y2

Análisis de la línea cosecante -∞ ------------------------------ ------------------------- ---------------------- ------------------ ---------------- -------------- ----------------- --------------------- ------------------------ 360º 180º -1 1 +∞ 0º Cosec  ≤ -1 U Cosec  ≥ 1 -1 1 Cosec 360º 270º 180º 90º 0º Valores Cuadrantales. Variación cuadrantal. ( - ) Decreciente -1 a -∞ Q4 Creciente -∞ a -1 Q3 (+) 1 a +∞ Q2 +∞ a 1 Q1 Signo Comportamiento Variación Cuadrante

3. Líneas trigonométricas auxiliares Línea seno verso o verso (vers) Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal. El verso es positivo. Por definición: Vers θ = 1 – Cos θ … l B B’ A A’ ___________ 1 ____________I -------------------- θ P M De la figura: Vers θ = MA En el OMT : Cos θ OM OP = 1 ll . . . Cos θ = OM … Reemplazamos ll l en : Vers θ = 1 – OM . . . Vers θ = MA

4. Problemas de Aplicación Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP Trazamos la línea PQ A´A, la cual representa la línea seno, entonces: B B’ A A’ o P 1 Q α PQ = Sen α --------------- Sen α Además OA representa el radio de la C.T., entonces: OA = 1 Finalmente: S▲AOP = 1 2 (OA)(PQ) S▲AOP = 1 2 (1)(Sen α) S▲AOP = 1 2 Sen α Solución

Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas ----------------- B A´ A B´ O Q P 80º 10º I. Sen 10º > Sen 80º II. Cos 10º > Cos 80º III. Tg 10º > Tg 80º B A´ A O M Q N P 10º 80º B´ A´ B B’ A O N Q M P 10º 80º AP = Tg 10º PM = Sen 10º PM = Cos 10º AQ = Tg 80º QN = Sen 80º QN = Cos 80º AP < AQ PM < QN PM > QN Tg 10º < Tg 80º Sen 10º < Sen 80º Cos 10º > Cos 80º Falso Falso Verdadero

Problema 7: Calcular el área de la región sombreada Resolución: o C.T. Tg  Analizando las líneas notables en la C.T.: Tg  = AT OA ; OA = 1 Veamos: Tg  = AT 1 AT = Tg   1 S▲A´OT = (A´O)(AT) 2 A´O = 1 AT = Tg  S▲A´OT = (1) (Tg ) 2 S▲A´OT = 1 2 Tg 

“Gracias por su atención”

< Analizando la figura: Problema 5: o π/6 π/2 C.T. π 3π/2 0.2 π m AA´P = mAP 2 30º 15º (ángulo inscrito) A´OC = Tg 15º = OC 1 2 - √3 = OC S▲CA´B´ = (B´C)(OA´) 2 B´C = 3 - √3 OA´ = 1 o P B A´ B´ 15º C 2 - √3 1 A 30º S▲CA´B´ = (3 - √3) (1) 2 S▲CA´B´ = 3 - √3 2 u2