Tema III Determinantes MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES TEMA 3.6 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 1 Sea la matriz A = El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 Veamos si es de rango 3: Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 Veamos si el rango es 2: 1 1 1 0 = 1 – 0 = 1 <> 0  Rango (A) = 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 2 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … Ejemplo 2 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 1 0 2 0 1 1 = 3-2-1=0; 0 1 1 = – 1 <> 0 1 1 3 0 1 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: 1 1 0 0 1 0 0 1 1 =1 . 1 3 3 - 0 . A12 + 2. 1 1 3 - 3 . 1 1 3 = 1 0 1 0 1 1 0 1 0 = 1.(3+3-1) – 0 + 2. (-1) – 3 (1) = 5 – 2 – 3 = 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4 , al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3. Conclusión: Una fila o columna es combinación lineal de otra/s. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. RANGO DE UNA MATRIZ RANGO DE UNA MATRIZ Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. Ejemplo 3 Sea la matriz A = Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: 1 0 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. … Ejemplo 3 Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: 1 0 2 0 1 1 = 1 +0+0 – 2 – 1 -0 = - 2 <> 0 1 1 1 Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: =1 . - 0 . + 2. - 3 . = 1.(2+1+0-0-2-1) – 0. (0+1+0-0-0-2) + 2. (0+1+0-0-0-2) – 3 (0+1+1-1-1-0) = = 1.0 – 0.(-1) + 2. (-1) – 3.0 = 0 – 0 – 2 – 0 = -2 <> 0 Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4 , al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. Nota: Podíamos haber comenzado por estudiar si el Rango era 4, luego si era 3, luego si era 2 y por último si era 1. El orden es lo de menos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Aplicación práctica Sea un sistema de 4 ecuaciones con cuatro incógnitas: x,y,z y t. Estudiamos el rango del determinante que forman los coeficientes: 1.-Si el rango es cuatro, Rag A = 4 El sistema es compatible y determinado, Cada incógnita tiene un valor real determinado. Ejemplo: x = 2, y = – 3, z = 0 y t = 1/2 2.-Si el rango es tres, Rag A = 3 El sistema es compatible e indeterminado. El valor de las incógnitas no está determinado (no el de todas). Tres de las incógnitas dependen del valor de la cuarta. Ejemplo: x = 2 – t , y = – 3 + 2.t , z = 5 Hay infinitas soluciones. 3.-Si el rango es dos (o uno), Rag A = 2 (o Rag A = 1) El valor de las incógnitas no está determinado. Dos ( o una) de las incógnitas dependen del valor de las otras. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejercicio Resuelve el siguiente sistema: x – 2.y + z – t = – 4 2.x + y – z = 1  A.X = C x – y + 3.t = 11 2.x – 3.y + z + 2.t = 7 1 - 2 1 - 1 x 4 A = 2 1 - 1 0 X = y C = 1 1 – 1 0 3 z 11 2 - 3 1 2 t 7 Lo puedo resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. Veamos el rango que presenta la matriz de los coeficientes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejercicio Hallo el valor del determinante de la matriz. Para ello busco el pivote, el 1 Y opero a semejanza del Método de Gauss 1 - 2 1 - 1 1 -2 1 -1 |A| = 2 1 - 1 0 = 0 5 -3 2 1 – 1 0 3 0 1 -1 4 2 - 3 1 2 0 1 -1 4 A la cuarta fila le resto la tercera: 1 - 2 1 - 1 |A| = 0 5 -3 2 = 0, al tener una fila todos ceros. 0 1 -1 4 0 0 0 0 El rango de A no es 4. El sistema es indeterminado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejercicio Busco cualquier determinante de orden 3 de valor no nulo. 1 - 2 1 |A| = 0 5 -3 = -5 +3 = -2 <> 0 0 1 -1 El rango de A es 3, pues existe al menos un determinante de orden 3. El sistema que me dan se transforma en el siguiente: x – 2.y + z = – 4 + t 2.x + y – z = 1  A.X = C x – y = 11 – 3.t Por Gauss: F2 = F2 – 2xF1 y F3 = F3 – F1 x – 2.y + z = – 4 + t 5. y – 3.z = 9 – 2.t y – z = 15 – 4.t @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.

Apuntes 2º Bachillerato C.S. Ejercicio Por Gauss: F2 = F2 – 5F3 x – 2.y + z = – 4 + t + 2.z = – 66 + 18.t y – z = 15 – 4.t Por Gauss, permutando F2 y F3: x – 2.y + z = – 4 + t 2.z = – 66 + 18.t Resolviendo: z = – 33 + 9.t y – (– 33 + 9.t) = 15 – 4.t  y = – 18 + 5.t x – 2.(– 18 + 5.t ) + (– 33 + 9.t) = – 4 + t x + 36 – 10.t – 33 – 9.t = – 4 + t  x = – 7 + 20.t Como se ve los valores de x,y,z dependen de t  Sistema Indeterminado. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S.