Los números reales.

Los números reales. ÍNDICE. Los números racionales. Representación decimales de fracciones. Número irracionales. Números reales. Orden de los números reales. Intervalos de la recta real. Valor absoluto. Distancia. Entorno de un punto. Números aproximados. Notación científica. Cifras significativas. Potencias. Propiedades de las Potencias. Radicales. Potencias de exponente racional. Propiedades de los radicales. Operaciones con los radicales.

Los números racionales  Los NÚMEROS RACIONALES, son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b 0, como por ejemplo: (-5), 0.0001, 1.333 ….. Ya que:  Los números racionales contienen a los NÚMEROS NATURALES y a los NÚMEROS ENTEROS. Los NÚMEROS NATURALES son los que habitualmente sirven para ordenar o contar y se representa por  = {0, 1, 2, 3, 4, … } Representación de los números naturales en la recta real.  Los NÚMEROS ENTEROS los componen los NÚMEROS NATURALES y sus opuestos y se representan por  = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … } Representación de los números enteros en la recta real.

Los números racionales  Los NÚMEROS RACIONALES es un conjunto DENSO, ya que entre cualquier par de números racionales distintos siempre podemos encontrar otro intermedio. Pues por ejemplo entre 0,001 y 0,002, el número 0,0015 es intermedio.  Los NÚMEROS RACIONALES se representan por  Representación aproximada de 3,14156 en la recta real. Ver REPRESENTACIÓN DE FRACCIONES en la recta (DESCARTES)

Representa en Excel un número racional (haz CLIC en la imagen)

Representación decimales de fracciones  Dada una fracción, al dividir el numerador a entre el denominador, obtendremos como resultado un número entero o decimal. Si el resultado es decimal, éste puede ser:

Representación en fracciones de decimales  En caso contrario, es decir si tenemos un número racional D, para obtener una fracción equivalente Si D es DECIMAL EXACTO. Si tiene n cifras decimales, se efectúan las operaciones Si D es DECIMAL PERIÓDICO PURO. Si tiene n cifras decimales de periódo, se efectúan las operaciones Si D es DECIMAL PERIÓDICO MIXTO. Si tiene n cifras decimales de periódo, y m de decimales no periódicos, se efectúan las operaciones

Números irracionales  Los números que no se pueden expresar como fracciones (y por tanto tampoco como decimales periódicos) se denominan NÚMEROS IRRACIONALES y se representa por , En las antiguas civilizaciones como la de Grecia y la de Roma, los números irracionales generaron bastantes problemas matemáticos, pues dado que al utilizar por ejemplo el teorema de Pitágoras obtenían números no racionales, pues por ejemplo, la diagonal de un cuadrado de lado 1 unidad, tiene longitud √2, que no se puede expresar en forma de fracción ya que √2 = 1.414213562 … tiene infinitas cifras decimales, y no es un decimal periódico.  El número √2 no se puede poner en forma de fracción, pues si suponemos que existe una fracción a/b, con a y b primos entre sí, tal que √2 = a/b. Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado, obtendríamos la ecuación: 2 = a² / b ² Pero a² / b²  2, ya que a², b ² son primos entre sí, por serlo a y b, y llegamos una contradicción. Por tanto √2 no se puede poner en forma de fracción  Lo mismo sucede con cualquier raíz, de un número primo √3, √5, √7, etc. Además, existen números irracionales, que por su importancia matemática están definidos por un símbolo o un nombre, como por ejemplo: Pi, Fi o e.

Números irracionales  Todos los números irracionales rellenan todos los huecos de la recta real que no ocupan los racionales. Además, mediante recursos geométricos podemos representar algunos números irracionales, como por ejemplo 2, basta con que sobre los ejes de coordenadas dibujemos un triángulo equilátero de lado 1, y como la hipotenusa mide 2 basta con abatirla mediante un compás en la recta real

Números irracionales  A partir de 2 podemos construir otro triángulo rectángulo de catetos 2  y 1, cuya diagonal es 3, que al abatirla sobre el eje de abscisas obtendríamos la representación de  en la recta real de 3 3

Los números reales  El conjunto de los NÚMEROS REALES está formado por la unión de los números racionales e irracionales, y se designa por , es decir  U  PROPIEDADES DE LA SUMA Y PRODUCTO DE LOS NÚMEROS REALES .   SUMA PRODUCTO 1.    Asociativa. a + ( b + c) = ( a + b ) + c a × ( b × c) = ( a × b ) × c 2.    Conmutativa. a + b = b + a a × b = b × a 3.    Existencia de elemento. a + 0 = a a × 1 = a 4.   Existencia de elemento opuesto e inverso. a + (- a) = 0. a × ( 1/a ) = 1 5.   Propiedad distributiva: a × ( b + c) = a × b + a × c ( a + b ) × c = a × c + b × c

Orden de los números reales  Dados dos números reales a y b, diremos que a es menor que b, y se escribe a < b, cuando b – a es positivo. Es decir: a < b si y solo si b – a > 0. Dados dos números reales a y b, diremos que a es mayor que b, y se escribe a > b, cuando b < a. Dados dos números reales a y b, a es menor o igual que b, y se escribe a   b, cuando a < b o a = b. Dados dos números reales a y b, a es mayor o igual que b, y se escribe a   b, cuando a > b o a = b . Ejemplos: 2 < 5, ya que 5 – 2 = 3 > 0 8  8, ya que 8 = 8

Propiedades de orden de los reales con respecto a las operaciones habituales.  El conjunto NÚMEROS REALES con la relación , con respecto de las operaciones de la suma y del producto, cumple las siguientes propiedades PROPIEDADES DE ORDEN CON RESPECTO DE LA SUMA Y DEL PRODUCTO.   PROPIEDAD EJEMPLO 1.    a   b   y  b  c  =>  a   c 3  8  y  8  11 => 3  11 2. a   b   y  c  d  =>  a + b   c + d 3   8   y  2  3  =>  3 + 2   8 + 3 3.   a  b y   k real  => a + k    b + k 3  8 y   k = (-2)  => a + (-2)    b + (-2) 4.   a  b  y  k real positivo =>  a × k  b × k 3  8 y   k = 2   =>    3 × 2     8 × 2

Intervalos de la recta real  Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO ABIERTO de extremos a y b, al conjunto   (a,b) = { x : a < x < b}  Dados dos números reales a, b con a  b. Denominamos INTERVALO CERRADO de extremos a y b, al conjunto   [a,b] = { x : a  x  b}  Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto   (a,b] = { x : a < x  b}  Dados dos números reales a, b con a < b. Denominamos INTERVALO SEMIABIERTO O SEMICERRADO de extremos a y b, al conjunto   [a,b) = { x : a  x < b}

Intervalos de la recta real  Ejemplos: la representación gráfica de los intervalos (-4,1), (2,3] y [4,6] en la recta real es la siguiente:  Si algunos de los extremos del intervalo es , los intervalos podrán ser de la forma:       ( -  , b ) ó ( a , +  ) ó (-  , b ] ó [ a , +  ) ó ( -  , +  ).  Para representar un intervalo, que contenga un extremo infinito solemos representar gráficamente dicho extremo con un flecha. Así por ejemplo, la representación gráfica del intervalo [2,+ ) en la recta real es la siguiente:  Para hallar el punto medio m de un intervalo (a,b), basta con hallar la media aritmética de sus extremos, es decir  Así por ejemplo, el punto medio del intervalo (3,8) es m = 5,5

 Así por ejemplo, el |-3| = 3 y |2,8| = 2,8: Valor absoluto  El valor absoluto de un número real, se designa por |a|, y se define como :  Así por ejemplo, el |-3| = 3 y |2,8| = 2,8: PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1.- |a|  0. 2.- |a| = 0 si y solo si a = 0. 3.- | a + b |  |a| + |b| 4.- | a . b | = |a| . |b| Ejemplos a)     6 =  | 2 + 4 | = |2| + |4| = 6 b)     1 = | (-2) + 1 | < |(-2)| + |1| = 3 c) 3 =  | (-1) . 3 | = |(-1)| . |3| = 3

Valor absoluto Si a es un número real positivo, INECUACIONES DE VALORES ABSOLUTOS Si a es un número real positivo, La inecuación |x|  a, tiene por solución el intervalo [-a,a]. La inecuación |x| < a, tiene por solución el intervalo (-a,a). La inecuación |x| > a, tiene por solución ( -  , - a )   ( + a , +  ) La inecuación |x|  a, tiene por solución ( -  , - a ]   [ + a , +  ) Si a = 0 La inecuación |x|  a, tiene por solución x = 0. La inecuación |x| < a, no tiene solución. La inecuación |x| > a, tiene por solución ( -  , 0 )   ( + a , 0 ). La inecuación |x|   a, tiene por solución todos los números reales Si a < 0 Las inecuaciones |x|  a  y |x| < a, no tienen solución. Las inecuaciones |x| > a  y  |x|  a, tiene por solución todos los números reales.

Valor absoluto Ejemplos |x|  2, se cumple cuando -2  x  2, es decir las soluciones son el intervalo [ - 2 , 2 ] |x|  1, se cumple cuando x  - 1  y  x  1, es decir la solución es: (-,-1)  (+a,+)

Distancia  La distancia entre dos números reales, se designa por d(a,b),  y es igual a       d(a,b) = | b – a | PROPIEDADES DE LA DISTANCIA 1.- d(a,b) >=  0. Puesto que | b – a | >= 0. 2.- d (a,a) = 0. Puesto que | a – a | = |0| = 0. 3.- d(a,b) = d(b,a). Puesto que | b – a | = | a – b | 4.- d(a,c) <= d(a,b) + d(b,c) Puesto que | c – a | = | (c – b) + ( b – a) |  <= | (c – b) | + | ( b – a) | Ejemplo d(6,7) =  |  7 - 6 | = |1| = |(-1)| = | 6 – 7 | = d(7,6)

Entorno de un punto  Se denomina entorno de un punto de radio r (r > 0 ) al conjunto r r a + r a -r a Ejemplo El entorno de centro 1 y radio 2, es decir E 2 (1), es el intervalo abierto (-1,3)

Números aproximados  En ocasiones empleamos números aproximados en lugar de números exactos. En particular, los solemos utilizar cuando estos números tienen muchas o infinitas cifras decimales, o cuando son números muy grandes o muy pequeños, y el error de calculo que podamos cometer no suponga obtener cálculos erróneos. TRUNCAR un número a partir de una cifra dada, consiste en sustituir los dígitos por ceros a partir de dicha cifra, si la cifra está a la izquierda de la coma decimal o consiste en suprimir los dígitos, si la cifra está a la derecha de la coma decimal. Ejemplos: El número 567.437 truncado a las centenas es 567.400. El número 23,456 truncado a las décimas es 23,4 REDONDEAR un número a partir de una cifra dada, consiste en truncar el número si la cifra posterior a la dada es menor que cinco, o truncar el número y sumarle a dicha cifra una unidad si la cifra posterior a la dada es menor que cinco. En el caso de que la cifra posterior sea cinco, se deberá de tener en cuenta que valor las cifras posteriores. Ejemplos: El número 567.437 redondeado a las centenas es 567.400. El número 23,476 redondeado a las décimas es 23,6

Errores de números aproximados Si A es un número exacto y a es el número aproximado de A. Denominamos ERROR al tomar a en vez de A a: e = A –a. Denominamos ERROR ABSOLUTO al tomar a en vez de a: ea = | A – a |. Denominamos ERROR RELATIVA al tomar a en vez de a: er = ea / A . En ocasiones el ERROR ABSOLUTO no nos aporta la bondad de aproximación, mientras que el ERROR RELATIVO si. Además, es habitual que el ERROR RELATIVO lo expresemos en tanto por cien. Ejemplo: Si utilizamos el número a = 3,14 en lugar del número  = 3,1415…cometemos los siguientes errores: Es decir que al utilizar a = 3,14 en lugar del número  = 3,1415…cometemos un error relativo del 0,05 %.

Notación científica  Habitualmente, cuando tenemos que utilizar número muy grandes o números muy pequeños, solemos utilizar la notación científica, que consiste en expresar dicho número como producto de un número comprendido entre el 1 y el 10 (sin incluir el 10) denominado MANTISA y un potencia de 10 . Ejemplos: La distancia media aproximada de la tierra al sol es 150.000.000.000 metros, que expresado en notación científica es 1,50 ×  1011 m. La carga de un electrón es aproximadamente de 0,00000000000000000016 Culombios, que expresado en notación científica es 1,60 ×  10-19 C.

Notación científica  Cuando representamos un número entero en notación científica, el número de dígitos que indican su exactitud, se denominan cifras significativas. Y se obtiene contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando por el primero y finalizando poR el último no nulo. Ejemplo: El número 478.000 tiene tres cifras significativas, y su representación exacta en notación científica será 4,78 ×  105.  Cuando representamos un número decimal, el número de cifras significativas se obtiene contando los dígitos de izquierda a derecha, comenzando con el primero no nulo y finalizando con el último (sea cual sea). El número 32,5 tiene tres cifras significativas, mientras que el número 151,00 tiene cinco cifras significativas . El número de cifras significativas de un número representado en notación científica viene determinado por el número de dígitos de su mantisa. Ejemplo: El número 4,78 ×  105 tiene tres cifras significativas, mientras que el número 4,0000 ×  105 tiene cinco cifras significativas .

Potencias. Propiedades de las potencias.  Se denomina POTENCIA de base a y de exponente el número entero n, al producto:  PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS: Ejemplo: Si el exponente es un número entero negativo – n (donde n es un natural positivo). Dicha potencia se puede representar como: Dado que utilizando propiedades de las potencias se cumple: Ejemplo:

Radicales.  Se denomina RAÍZ enésima de a al número b (se representa por ) tal que:  Hay que observar: Ejemplos: Hay que observar, que si a es un número negativo y n es par no existe, pues no puede existir ningún número b tal que b n = a.

Potencia de exponente racional.  Teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, si utilizamos exponentes fraccionarios, obtenemos la siguiente equivalencia Ejemplos:

Potencias. Propiedades de los radicales. Podemos simplificar radicales introduciendo y extrayendo factores de una raíz, teniendo en cuenta que: Ejemplos: En ocasiones para operar con radicales es necesario utilizar radicales equivalentes, teniendo en cuenta que : k y p son números naturales y p es divisor de n y m. Para poder multiplicar o dividir radicales de índices distintos, podemos utilizar radicales equivalentes de índice el mínimo común múltiplo de ambos. Ejemplo:

Operaciones con radicales.  Radicales semejantes: Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y al extraer o introducir algún factor tiene el mismo radicando Ejemplo: Podemos simplificar expresiones radicales, si contiene expresiones semejantes Ejemplo:  Racionalización de fracciones con radicales en el denominador.- En ocasiones cuando tenemos que efectuar operaciones con fracciones con denominador radical, nos es más práctico operar con fracciones equivalentes que no contengan números racionales en el denominador . Ejemplos:

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