Aplicación de Mínimos INTEGRANTES: ALCALA RODRIGUEZ ELMER ROJAS ROJAS MILAGROS GARCIA RODRIGUEZ JUAN CARLOS ESPINOZA JARA PAMELA ELIZABETH GALARZA ORIHUELA ALAN

01. - Una empresa produce dos tipos de productos, A y B 01.- Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dólares ) de producir “x” unidades de A, y “y” unidades de B esta dado por: C(x,y) = 250 – 4x – 7y + 0.2x2 + 0.1y2 . Determine el número de unidades de A y B que la empresa debe producir al día con el objeto de minimizar el costo total. Solución: Productos son A y B Cantidad de A : x Cantidad de B : y Costo diario total : C(x,y) = 250 - 4x - 7y + 0.2x2 + 0.1y2

∂C(x,y) = - 4 + 0.4x = 0 → 0.4x = 4 ∂x x = 10 → punto critico: ∂C(x,y) = -7 + 0.2y = 0 → 0.2y = 7 ∂y y = 35 P(10,35) Aplicando criterio de la 2da derivada : ∂2C(x,y) = 0.4 > 0 ∂x2 ∂2C(x,y) = 0.2 > 0 ∂y2 ∂2C(x,y) = 0 ∂x∂y

→ D = ∂2C(x,y) * ∂2C(x,y) - ∂2C(x,y) 2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y D = 0.4 * 0.2 - (o)2 D = 0.08 > 0 Entonces para minimizar los costos ; el número de unidades de A y B es de 10 y 35 respectivamente.

02.- El costo total C por serie de producción (en miles de dólares) de cierta industria esta dado por C(x,y) = 3x2 + 4y2 – 5xy + 3x – 14y + 20 , en donde x denota el numero de horas – hombre (en cientos ) y “y” el número de unidades (en miles) del producto elaborados por serie ¿ Que valores de x e y darán como resultado el costo total mínimo por serie de producción ?. Solucion: Costo total C por serie de producción (en miles de dólares) C(x,y) = 3x2 + 4y2 – 5xy + 3x – 14y + 20 X: número de horas - hombre (en cientos) Y: número de unidades (en miles) → C(x,y) = 3x2 + 4y2 – 5xy + 3x – 14y + 20

∂C(x,y) = 6x – 5y + 3 = 0 ……..(1) ∂x ( + ) ∂C(x,y) = 8y – 5x – 14 = 0 …….(2) ∂y Sumando la ecuación (1) y (2) obtenemos la siguiente ecuación : x = 11 – 3y ……….(B) Luego reemplazamos B en la ecuación (1) 6(11 – 3y) – 5y + 3 = 0 66 – 18y – 5y + 3 = 0 69 = 23y 3 = y Luego reemplazamos “y” en (B) → El punto critico es: x = 11 – 3y P(2,3) x = 11 – 3(3) x= 2

Aplicamos el criterio de la 2da derivada : ∂2C(x,y) = 6 > 0 ∂x2 ∂2C(x,y) = 8 > 0 ∂y2 ∂2C(x,y) = - 5 ∂x∂y

→ D = ∂2C(x,y) * ∂2C(x,y) - ∂2C(x,y) 2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y D = 6 * 8 - (- 5 )2 D = 48 – 25 D = 23 > 0 Entonces para dar el costo total mínimo por serie de producción, los valores de x e y deben ser de 2 y 3 respectivamente .

3.- Los costos de la fuerza de trabajo en dólares para fabricar una cámara de precisión pueden estar aproximados por : C(x,y) = 3X2 + y2 – 2x – 2y – 2xy + 68 , donde x es el número de horas 2 requeridas por un operador y “y” es el número de horas requeridas por un obrero no especializado. Encuentre los valores de x e y que minimicen el costo de la fuerza de trabajo. Solución: Costos de Fuerza de trabajo en $ C(x,y) = 3x2 + y2 – 2x – 2y – 2xy + 68 x : Número de horas requeridas por un operador y : Número de horas requeridas por un obrero

∂C(x,y) = 3x – 2 – 2y = 0 ………(1) ∂x ∂C(x,y) = 2y – 2 – 2x = 0 ………(2) ∂y Sumando ambas ecuaciones obtenemos x = 4 y luego reemplazando en cualquier ecuación obtenemos que y = 5 → El punto critico es : P(4,5) Aplicando el criterio de la 2da derivada : ∂2C(x,y) = 3 > 0 ∂x2 ∂2C(x,y) = 2 > 0 ∂y2 ∂2C(x,y) = - 2 ∂x∂y

→ D = 3 * 2 - (- 2)2 D = ∂2C(x,y) * ∂2C(x,y) - ∂2C(x,y) 2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y Entonces los valores que minimizan el costo de la fuerza de trabajo es de 4 y 5 y el costo mínimo es : C(4,5) = 3(4)2 + (5)2 - 2(4) – 2(5) – 2(4)(5) + 68 2 C(4,5) = 59 -----> El costo mínimo de la fuerza de trabajo.

4.- El costo total de producir “x” unidades de cinta eléctrica y “y” unidades de cinta para empacar esta dado por : C(x,y) = 2x2 + 3y2 – 2xy + 2x – 126 + 3800 . Encuentre el número de unidades de cada tipo de cinta que debe producirse para que el costo sea mínimo. Encuentre el costo total mínimo . Solución: Cinta eléctrica : x unidades Cinta para empacar : y unidades Costo total: C(x,y) = 2x2 + 3y2 – 2xy + 2x – 126 + 3800 ∂C(x,y) = 4x – 2y + 2 = 0 …….(1) ∂x ∂C(x,y) = 6y -2x – 126 = 0 ……(2) ∂y

Multiplicando la ecuación (1) por 3 . 3 (4x – 2y + 2) = (0)3 12x – 6y + 6 = 0 (+) 6y – 2x – 126 = 0 ; 6y – 2x – 126 = 0 x = 12 Reemplazando x = 12 en (1) obtenemos y = 25 → Punto critico : P(12,25) Aplicando criterio de la 2da derivada: ∂2C(x,y) = 4 > 0 ∂x2 ∂2C(x,y) = 6 > 0 ∂y2 ∂2C(x,y) = - 2 ∂x∂y

→ D = ∂2C(x,y) * ∂2C(x,y) - ∂2C(x,y) 2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y D = 4 * 6 - (-2)2 Entonces el numero de unidades de cinta eléctrica es de 12 y el número de unidades de cinta para empacar es de 25 que son valores que minimizan el costo ; y el costo total mínimo es: C(x,y) = 2x2 - 3y2 – 2xy + 2x – 126y + 3800 C(12,25) = 2(12)2 – 3(25)2 – 2(12)(25) + 2(12) + 3800 C(12,25) = 1637

5.- El costo total en dólares de fabricar “x “ celdas solares e “y” colectoras solares es : C(x,y ) = x2 + 5y2 + 4xy – 70x – 164y + 1800 Encuentre valores de x e y que produzcan un coste total mínimo . Encuentre el costo total mínimo. Solución: Celdas solares : x cantidades Colectoras solares : y cantidades Costo total en dólares : C(x,y) = x2 + 5y2 + 4xy – 70x – 164y + 1800

∂C(x,y) = 2x + 4y – 70 = 0 …….(1) ∂x ∂C(x,y) = 10y + 4x – 164 = 0 ………(2) ∂y Multiplicando por 2 la ecuación (1) : 2(2x + 4y – 70 ) = (0)2 4x + 8y – 140 = 0 , ( - ) 10y + 4x – 164 = 0 10y + 4x - 164 = 0 y = 12 Luego reemplazando en la ecuación (1) obtenemos que x = 11 ; Punto critico : P(11,12)

→ D = 2 * 10 - (4)2 Aplicando el criterio de la 2da derivada : ∂2C(x,y) = 2 > 0 ∂x2 ∂2C(x,y) = 10 > 0 ∂y2 ∂2(x,y) = 4 ∂x∂y D = ∂2C(x,y) * ∂2C(x,y) - ∂2C(x,y) 2 ∂x2 ∂y2 ∂x∂y → D = 2 * 10 - (4)2 D = 4 > 0

El valor de x es de 11 y el valor de y es de 12 , cuyos valores producen un coste total mínimo . C(11,12) = 431 es el Coste total mínimo .