INTERPOLACION DE HERMITE EMMANUEL LOPEZ FLORES CLAUDIA IVETH ROMERO VAZQUEZ

INTERPOLACION DE HERMITE Los polinomios ajustados a los valores de la función y de su derivada se llaman Polinomios de Interpolación de Hermite o Polinomios Osculantes. Representa una generalización de los polinomios de Taylor y de Lagrange.

INTERPOLACION DE HERMITE Su principal función es interpolar una función dada coincidiendo con ella en n+1 puntos y en sus m derivadas Aquí entra el polinomio de Hermite que interpola la función dada y coinciden en ella n+1 y en m puntos de la derivada primera

INTERPOLACION DE HERMITE Recurriremos al método de Hermite cuando: Necesitemos efectuar operaciones o calcular una función en un punto pero tenemos funciones complicadas En determinadas aplicaciones que cuenten con datos de una función y sus derivadas en una serie de puntos que requieran aumentar la aproximación en las proximidades de ciertos puntos

PROPIEDADES DEL POLINIMIO DE HERMITE Sea X0,…Xn  [a,b] números distintos y mi ≥ 0 un entero no negativo asociado a Xi para i  {0,…,n}. Supongamos que f  Cm [a,b], donde m= max {m0,…,mn}. El polinomio que aproxima f es el polinomio P de menor grado que concuerda con la función f y con todas sus derivadas de orden ≤ mi en xi para cada i  {0,…,n}: 𝑝 𝑘 (xi)= 𝑓 𝑘 0 ≤ i ≤ n 0 ≤ k ≤ mi

GRADO DE POLINOMIO DE HERMITE El grado se determina por : deg(p) ≤ M = n + 𝑖=0 𝑛 m1 Cuando m0=,…=mn= ….1 Y un polinomio de grado n tiene m+1 coeficientes que pueden usarse para satisfacer estas condiciones

POLINOMIO DE HERMITE El polinomio de Hermite esta dado por H2n+1( xk ) = f( z0 ) + ( xk - z0 ) f[ z0 , z1 ] + ( xk - z1 ) ( xk - z0 ) f[ z0 , z1 , z2 ] + ( xk - z2 ) ( xk - z1 ) ( xk - z0 ) f[z0 , z1 , z2 , z3 ] + … + ( xk - zk - 1 ) … ( xk - z0 ) f[ z0 … zk ]

ALGORITMO Para obtener los coeficientes del polinomio interpolante de Hermite H(x) en los (n+1) números distinto x0, … .xn para la función f: ENTRADA los números x0,x1,… , xn; valores f(x0),…, f(xn) y f’ (x0),…,f’(xn). SALIDA los números Q0,0, Q1,1,…, Q 2n+1,2n+1 donde H(x)= Q0,0+ Q1,1(x-x0)+ Q2,2(x-x0)2 + Q3,3(x-x0)2(x-x1)+ Q4,4(x-x0)2(x- x1)2 +…+ Q2n+1,2n+1(x-x0)2(x-x1)2 …(x- xn-1)2(x-xn)

PASO 3 SI i ≠ 0 entonces tome PASO 1 Para i= 0,1,…,n haga pasos 2 y 3 PASO 2 Sea Z2i = Xi; Z2i+1 = Xi; Q2i,0 = f(Xi); Q2i+1,0 = f(Xi); Q2i+1,1 = f’(Xi) PASO 3 SI i ≠ 0 entonces tome Q2i,1 = Q2i,0 -Q2i-1,0 Z2i - Q2i-1 PASO 4 Para i= 2,3, … ., 2n+1 Para j= 2,3, …. i tomar Qi,j= Qi,j-1 – Qi-1,j-1 Zi - Z,j-1 PASO 5 ENTRADA (Q0,0, Q1,1, … , Q2n+1,2n+1) PARAR.