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Publicada porMilagros Lovera Modificado hace 10 años
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CLASE 19 PARTE 1: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Enunciado.
Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.
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Sea , donde D es abierto, a es un punto de D, y sea Para todo punto se cumple: TEOREMA. Desarrollo de Taylor en varias variables. Si f es de clase entonces:
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DEFINICIÓN. Polinomio de Taylor de grado
de f(p) en torno de p=a es: Por el teorema de desarrollo de Taylor: es el error cometido al sustituir f(p) por el polinomio de Taylor. Es un infinitésimode orden mayor que
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FÓRMULA DE LAGRANGE PARA EL RESTO.
Vale para funciones reales.
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CASO PARTICULAR: Función real de dos variables reales
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CLASE 19 PARTE 2: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Ejemplo.
Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.
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EJEMPLO. Hallar el polinomio de Taylor hasta grado 3 en
torno de (0,0) de la función
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OTRA FORMA. La serie geométrica de razón u es:
Integrando en v para v en el intervalo [0,1]
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Teníamos: Por otro lado: sigue
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EN VARIAS VARIABLES. Demostración.
CLASE 19 PARTE 3: DESARROLLO DE TAYLOR EN VARIAS VARIABLES. Demostración. Bibliografía de la Clase 19: Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2.4, parágrafo 33. Ejercicios para las clase 19 Práctico 5 del año 2006 Cálculo Diferencial e Integral II Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. UdelaR. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.
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Dem. del desarrollo de Taylor para varias variables.
Sea fijo un punto Definimos la siguiente función auxiliar en una sola variable real t, y calculamos sus derivadas (1) sigue
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Aplicando el desarrollo de Taylor de
en una sola variable t: Dado llamemos (1) sigue
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A probar que Fórmula de Lagrange, que probamos después para el resto de cada una de las coordenadas de f
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Teníamos:
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Dem. Fórmula de Lagrange para el resto en varias variables.
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