INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE.

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1 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE.
4º INGENIERÍA GEOLÓGICA Patricia Santos Sánchez

2 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Introducción: Hemite cúbico.
La interpolación de Hermite Consiste en buscar un polinomio a trozos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo: y que cumpla f '(x) en los puntos {x0,...,xn}, donde f (x) es la función que se quiere interpolar.

3 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Introducción: Hermite cúbico.
La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de ecuaciones de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

4 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. El método: Hermite cúbico.
Sea una función y= f(x) evaluada en n+1 puntos x0, x1,…, xn donde vale, respectivamente, y0, y1, …, yn y su derivada en los mismos puntos vale y0’, y1’, …, yn’. Entonces el polinomio interpolador de Hermite (interpola puntos no sólo de la función sino, también de su derivada) P(x) de grado máximo 2n+1 viene definido por:

5 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. El método: Hermite cúbico.
Es suficiente tener en cuenta que, sustituyendo resulta: Se considera la función auxiliar donde x no es abscisa de ningún nodo y se sigue la demostración del error de interpolación de Lagrange, se obtiene la fórmula del error de interpolación del polinomio de Hermite:

6 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. El método: Hermite cúbico.
En resumen, lo que hay que hacer en este método es: Observar los nodos para saber cuál es el grado del polinomio que buscamos. Realizar Hermite para los valores del intervalo, tomándolos dos a dos. Sólo es necesaria la función y la primera derivada. Obtenemos así el resultado que buscamos.

7 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Ejemplo: Hermite cúbico.
Obtener la función correspondiente a la interpolación de Hermite en el intervalo [-π/2,π/2] correspondientes a la función y = senx.

8 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Ejemplo: Hermite cúbico.
Como hay cuatro datos en la tabla, nuestro polinomio será de grado tres: P(x)= a + bx + cx2 + dx3 P’(x)= b + 2cx + 3dx2 Intervalo [-π/2, 0]: P(-π/2)= -1 = a – b π/2 + c(π/2)2 – d(π/2)3 P(0)= 0 = a  a=0 P’(-π/2)= 0 = b - 2c(π/2) + 3d(π/2)2 d~0,921 P’(0)= 1 = b  b=1 c~1,678

9 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Ejemplo: Hermite cúbico.
Intervalo [0, π/2]: P(0)= 0 = a  a=0 P(π/2)= 1 = a + b π/2 + c(π/2)2 + d(π/2)3 P’(0)= 1  b=1 P’(π/2)= 0 = b + 2c π/2 + 3d(π/2)2 d~-0,111 c~-0,0570

10 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE. Bibliografía.