EXPONENTES Y RADICALES UNIDAD 2 EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes y Radicales MAPA DE NAVEGACIÓN Exponentes y Radicales Índice Ejemplos Objetivo General Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Objetivo 8 Objetivo 9 Objetivo 10 Objetivo 11 Objetivos y Teoría Objetivo 1 Objetivo 2 Objetivo 3 Objetivo 4 Objetivo 5 Objetivo 6 Objetivo 7 Objetivo 8 Objetivo 9 Objetivo 10 Objetivo 11 Objetivos específicos

ÍNDICE Objetivo General Objetivos Específicos Ejemplos Ejercicios Resueltos Problemas Propuestos y soluciones a los problemas propuestos

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EJEMPLOS OBJETIVO 1 OBJETIVO 2 OBJETIVO 3 OBJETIVO 4 OBJETIVO 5 ÍNDICE

Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las leyes de los exponentes y de los radicales. ÍNDICE

Objetivos específicos: Recordarás la notación exponencial, el concepto de base y el de exponente. Recordarás la ley para multiplicar factores con la misma base y exponentes enteros. Recordarás el significado de los exponentes negativos y del exponente nulo. Recordarás la ley para dividir factores con la misma base y exponentes enteros. Recordarás la ley para elevar una potencia a otra potencia. ÍNDICE

Objetivos específicos: 6. Recordarás las leyes para elevar un producto o un cociente a una potencia. Recordarás la notación de radicales. Recordarás el significado de los exponentes fraccionarios. Recordarás las leyes para multiplicar y dividir factores con exponentes fraccionarios o con radicales. Racionalizarás expresiones algebraicas con radicales en el denominador. Simplificarás expresiones algebraicas aplicando las leyes de los exponentes y los radicales. ÍNDICE

Objetivo 1. En la notación exponencial un número cualquiera se descompone en dos factores: Un número decimal cuyo valor generalmente está entre 1 y 10, y Una potencia de 10, es decir 10 elevado a la n (o sea, 10n). El número final es el producto de ambos factores.

En general, el número b a la n-ésima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un número natural, significa: En esta expresión, al número b se le conoce como la base y al número n como el exponente. Así, en la expresión 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresión 32 se lee tres elevado a la dos, o tres al cuadrado, y significa:

Un signo negativo que precede directamente a una expresión que está elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la expresión. Entonces, significa y no Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando . siempre será una cantidad positiva mientras que siempre será una cantidad negativa. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 1 ejemplos

1.) Para escribir en notación exponencial el número 1,322, se observa que , de modo que 2.) Para escribir en notación exponencial el número 7,500,000,000, se observa que , por lo que 3.) Para escribir en notación exponencial el número 64,100, se observa que , así que

(3 factores) (5 factores) (20 factores) (2 factores)

1.) Para evaluar , se calcula: y luego se tiene , se calcula: si , se calcula: y luego se tiene , se calcula: 2.) Para evaluar si y luego se tiene

Objetivo 2. Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores. En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se suman los exponentes. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 2 ejemplos

1.) 2.) 3.)

Objetivo 3. Para cualquier número real, a, distinto de cero, y cualquier número natural m: Si a es cualquier número distinto de cero, entonces: OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 3 ejemplos

Para entender mejor está última expresión, es conveniente recordar que para dividir dos números basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que

Como en el ejemplo anterior, esta expresión se puede simplificar para dejar

Objetivo 4. Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor. Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base común y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 4 ejemplos

Objetivo 5. Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un término de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias. Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 5 ejemplos

Objetivo 6. Ley IV.- Cuando un producto de dos o más factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada. Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 6 ejemplos

1.) Para elevar el producto a la cuarta potencia, es decir para obtener se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene 2.) Para elevar el cociente al cuadrado, es decir para obtener se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda

3.) Para elevar el cociente al cubo, es decir para obtener , se elevan al cubo el dividendo y el divisor para obtener y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda

Objetivo 7. La raíz cuadrada principal o positiva de un número positivo n, que se escribe , es el número positivo que al multiplicarse por sí mismo da como resultado n. Si en lugar de buscar un número que al multiplicarse por sí mismo dé como resultado n, se busca un número que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia dé como resultado n, se dice que dicho número es la raíz tercera (o cúbica), cuarta o quinta de n, y así sucesivamente.

Objetivo 7. En otras palabras, significa que y, en general, En la notación de radicales lo anterior se escribe como , etcétera. En otras palabras, significa que y, en general,

Objetivo 7. Al símbolo que sirve para indicar una raíz, se le llama signo radical. El número o expresión dentro del signo radical es el radicando y al número que sirve para indicar la raíz se le llama índice. Signo radical índice radicando OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 7 ejemplos

el radicando es 8 y el índice es 3. 1.) En la expresión el radicando es 8 y el índice es 3. significa que 2.) En la expresión el radicando es 81 y el índice es 4. significa que . 3.) En la expresión el radicando es 49 y el índice, que en este caso no se escribe, es 2. significa que

Objetivo 8. , se define: Si De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresión en notación radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el índice.

Objetivo 8. Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son también válidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene: , puesto que OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 8 ejemplos

1.) 2.) 3.)

1.) 2.) 3.) 4.)

Objetivo 9. Como ya se indicó, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios. Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan así: ,

Objetivo 9. Ley I.- puesto que, al tomar común denominador, Ley II.- Ley III.- puesto que ,

Objetivo 9. Ley IV.- , Ley V.-

Objetivo 9. Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el índice del radical es el denominador de un exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para la notación radical son: Ley I.- Cuando se multiplican dos raíces del mismo radicando, su resultado es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los índices originales. ,

Objetivo 9. Ley II.- Cuando se dividen dos raíces del mismo radicando, su cociente es una raíz con el índice igual al producto de los índices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del índice del divisor menos el del dividendo.

Objetivo 9. Ley III.- Cuando a una raíz de un radicando se le toma otra raíz, su resultado es una raíz del mismo radicando y un índice igual al producto de los dos índices de los radicales aplicados. Ley IV.- Cuando se toma una raíz de un producto de uno o más factores, su resultado es el producto de las raíces de cada factor.

Objetivo 9. Ley V.- Cuando se toma una raíz de un cociente, su resultado es el cociente de la raíz del dividendo entre la raíz del divisor. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 9 ejemplos

1.) 2.) 3.) 4.)

1.) 2.) 3.) 4.)

Objetivo 10. En la expresión , se dice que el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta si se puede encontrar en él algún factor que contenga una potencia igual o múltiplo del índice n del radical. ,

Objetivo 10. Es claro que cuando el radicando contiene una raíz n-ésima perfecta, la expresión radical puede simplificarse extrayendo del mismo la raíz exacta correspondiente, puesto que de acuerdo con las leyes de exponentes y radicales ,

Objetivo 10. Una expresión que incluya algún radical se encuentra en forma simple si: a.) El radicando no tiene factores con una raíz n-ésima perfecta. b.) El radicando no incluye fracciones. c) No existen radicales en el denominador de una fracción. ,

Objetivo 10. Racionalizar una fracción es eliminar los radicales que existan en su denominador. Para racionalizar una fracción se multiplican el numerador y el denominador por un radical que al multiplicarse con el del denominador lo convierta en una raíz perfecta, y simplificar ésta por tener raíz exacta. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 10 ejemplos

1.) 2.) 3.) 4.)

1.)La expresión contiene una raíz séptima perfecta puesto que se puede escribir 2.)La expresión contiene una raíz tercera (o cúbica) perfecta puesto que se puede escribir

3.)La expresión contiene una raíz cuarta perfecta puesto que se puede escribir

1.) Como , se extrae la raíz exacta y queda

1.) La expresión: no está en forma simple, porque el radicando incluye una raíz cúbica perfecta:

4.)La expresión: no está en forma simple, porque el radicando contiene una fracción y, además, contiene una raíz cuarta perfecta: 5.)La expresión: no está en forma simple, porque aparece un radical en el denominador.

1.)Para racionalizar la expresión se multiplican el numerador y el denominador por para obtener

2.)Para racionalizar la expresión conviene observar que de modo que ya incluye una raíz cuadrada perfecta (la correspondiente a ), por lo que basta con multiplicar el numerador y el denominador por para obtener:

3.) Para racionalizar la expresión es importante notar que en el radicando existen factores elevados a diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para cada uno la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raíz cuarta perfecta que se necesita.

Como está elevado a la primera potencia, debe multiplicarse por ; se multiplicará por sí misma; y por Por tanto, para racionalizar la expresión dada se multiplican el numerador y el denominador por para obtener:

Objetivo 11. Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los radicales. En general, la simplificación consiste en efectuar las operaciones que estén indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se definió anteriormente. Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador de la expresión y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de radicales. En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado antes. OBJETIVOS

EJEMPLOS OBJETIVO 11 ejemplos

para elevar un cociente a una potencia para que quede 1.) Para simplificar la expresión basta con tomar en cuenta que y trasladar el factor al denominador para dejar 2.) Para simplificar la expresión primero se elimina el exponente negativo después, se toma en cuenta la ley para elevar un cociente a una potencia para que quede

3.) Para simplificar la expresión se eleva cada factor a la potencia correspondiente y luego se efectúan las operaciones indicadas para obtener

4.)Para simplificar la expresión en primer lugar se identifica que todas las raíces que aparecen son cúbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresión en un solo radical luego se efectúan las operaciones indicadas en el radicando y queda como el radicando es una raíz cúbica perfecta se obtiene

5.) Para simplificar la expresión primero se efectúan las operaciones con los exponentes luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales y se racionaliza