Métodos de derivación numérica: El problema de la derivación numérica consiste en la evaluación de la derivada de la función en un punto, cuando únicamente conocemos los valores de la función en una colección de puntos x0, x1,... xn. Aunque, en apariencia se trata de un problema similar al de la integración numérica; de hecho la derivación es más complicada ya que, en la integración los errores tienden a cancelarse, y, como vimos, no necesitamos que la aproximación describa con fidelidad la función localmente. Sin embargo, la derivada es una propiedad esencialmente local, por lo cuál deberemos aproximar la función lo más fielmente posible en el entorno inmediato del punto en el que la queramos calcular.

f(x) pn(x) b x0 a

Como ya vimos en el caso de interpolación por rectas teníamos que: No están definidas las derivadas en los puntos xi; sí, en cambio, en los puntos intermedios xi<x<xi+1, para los cuales la primera derivada es constante y las derivadas superiores se anulan: Aunque no están definidas las derivadas en los puntos xi; sí que se pueden definir las derivadas por la derecha y por la izquierda que, en el caso, general, serán diferentes:

Mientras que, para el caso de interpolación por parábolas veíamos que: Las primeras derivadas en los puntos intermedios x, xn-1<x<xn+1 ahora no son constantes: Sí es constante la 2ª derivada y, por tanto, nulas todas las demás derivadas de orden superior:

Si quisiéramos evaluar el valor de la primera derivada en el punto xn, que es un punto de la tabla de datos de la que disponemos, vemos que, mediante la interpolación por rectas no existe tal derivada, mientras que, con la interpolación parabólica sería: que es exactamente el mismo valor que obtenemos si promediamos las derivadas por la izquierda y por la derecha de la interpolación por rectas:

En cuanto a la segunda derivada: podríamos re-escribirla del modo siguiente: lo cuál es acorde con la definición de derivada:

Si quisiéramos calcular la 3ª derivada tendríamos que recurrir al polinomio de interpolación de orden 3, o bien podríamos hacer lo siguiente: Basándonos en el hecho de que:

Si quisiéramos calcular el orden del error cometido al tomar estas aproximaciones: para la 1ª derivada: Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación: Sabemos que ambas magnitudes son iguales en el límite de h tendiendo a cero. Sin embargo, numéricamente, nosotros, estamos usando usando unos h que, aunque pequeños, no son infinitesimalmente tendentes a cero. Cuanto mayores sean los h, mayor será el error cometido. La relación Entre el error y el valor de h se puede encontrar desarrollando en serie la aproximación:

Desarrollando en serie la aproximación: Y vemos que, efectivamente:

para la 2ª derivada: Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación: Desarrollando en serie:

Ejercicios: - Justificar las siguientes aproximaciones:

Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación: Desarrollando en serie:

Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación: Desarrollando en serie:

Tomando esta fórmula estaríamos haciendo la siguiente aproximación: Desarrollando en serie:

Calcular las tres primeras derivadas de la función sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001. Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente función en los puntos 0.25, 0.5, 0.75 y 1.

Calcular las tres primeras derivadas de la función sen x en x = 1, para valores de h de 0.1, 0.01 y 0.001. h = 0.1 ¡¡¡EN RADIANES!!!

h = 0.1

h = 0.01

h = 0.01 h = 0.001

h = 0.001

Calcular las dos primeras derivadas de la siguiente función en los puntos 0.25, 0.5, y 0.75. h = 10-2 ¡¡¡EN RADIANES!!!

h = 10-3 h = 10-4 h = 10-5

El valor exacto se puede evaluar teniendo en cuenta que la primera derivada de la función es :

Para la segunda derivada: h = 10-2 h = 10-3 h = 10-4

Para los otros puntos, 0.5, y 0.75 : h = 10-4

La observación de la segunda derivada indicaría la existencia de un posible punto de inflexión (derivada segunda cero) en ese intervalo. Así, por ejemplo: Haciendo una interpolación lineal entre estos dos últimos puntos. Es decir, calculando la recta que pasa por los puntos (0.84, -4.409358 10-5) y (0.85, 0.008934901):

Luego el punto en el que la interpolación lineal que se aproxima a la derivada se anula sería el siguiente: y, efectivamente, podemos comprobar que en las inmediaciones de ese punto tenemos un valor prácticamente igual a cero de la segunda derivada: