Ecuaciones diferenciales 2. Ecuaciones diferenciales lineales y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Objetivo El alumno aplicará los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales lineales y de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, en la resolución e interpretación de Problemas físicos y geométricos

Ecuación diferencial NO homogénea: Método de coeficientes indeterminados Operador anulador Tipos de soluciones de una ED lineal homogénea con coeficientes constantes Método de solución

Ecuación diferencial lineal no homogénea de orden n con coeficientes constantes Solución general Solución homogénea Solución particular

yh es la solución de la ED homogénea asociada: yh se encuentra a partir de los valores característicos de la ED homogénea

¿Cómo encontramos a yp? Método de coeficientes indeterminados Este método aplica para ecuaciones diferenciales lineales NO homogéneas con coeficientes constantes, cuyo término no homogéneo es una función que puede ser solución de una ED lineal homogénea de coeficientes constantes.

coeficientes indeterminados? ¿Qué hace el método de coeficientes indeterminados? Este método se basa en transformar la ED NO homogénea en una ED homogénea. La transformación se lleva a cabo aplicando a la ED no homogénea un operador diferencial que ANULE al término no homogéneo q(x) L es un operador diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes

¿Qué es un operador anulador? Se dice que un operador diferencial lineal, A, ANULA a una función f(x) si (1) Es decir, A anula a f(x) si f(x) es una solución de la ED homogénea (1)

¿Cómo encontrar un operador anulador para q(x)? Un operador diferencial anulador será aquél que represente a una ED lineal homogénea de coeficientes constantes que tenga a la función por anular, q(x), como solución:

Ejemplo 1: Encuentre un operador diferencial anulador para Tenemos que

Ejemplo 2: Encuentre un operador diferencial anulador para Tenemos que

El operador anulador para funciones del tipo

El producto de dos operadores anuladores es un anulador para una suma de funciones Se debe tomar el operador anulador de menor orden

Ejercicio Obtenga el operador anulador de las funciones siguientes:

Tipos de soluciones de una ED lineal homogénea con coeficientes constantes

Método de coeficientes indeterminados Revisar que el método sea aplicable al problema por resolver Encontrar la solución de la homogénea asociada (yh) Encontrar el operador anulador de q(x) Aplicar el operador anulador a la ED no homogénea Resolver la ED homogénea transformada para encontrar la forma de la solución general: ygf = yh + ypf Encontrar la forma de la solución particular: ypf = ygf - yh Sustituir ypf en la ED original para determinar la solución particular Escribir la solución general de la ED no homogénea

Resuelva:

Indique si el método de coeficientes indeterminados es aplicable Indique si el método de coeficientes indeterminados es aplicable. ¿Por qué? (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Resuelva: Encuentre la forma de una solución particular de