Elaborado por: Beatriz Barranco IES Rey Pastor Curso 2012/2013 MATEMÁTICAS I Elaborado por: Beatriz Barranco IES Rey Pastor Curso 2012/2013

Bloque I: Aritmética y Álgebra Números reales Radicales Logaritmos Polinomios Ecuaciones y sistemas Inecuaciones

Números reales:clasificación Los grupos numéricos se fueron ampliando según se fueron obteniendo resultados que no se englobaban en los grupos conocidos.

Ejercicio:

Números reales e intervalos: representación en la recta real Representación nº entero 1 2 3 Representación nº decimal/fracción Representación nº irracional La recta real va desde -  hasta + . Cada punto de la recta representa un número real. Cada tramo de la recta representa un intervalo.

Los intervalos corresponden a un tramo de la recta y pueden ser abiertos (no incluyen los extremos), cerrados (incluyen los extremos) o semiabiertos (solo incluyen uno de los extremos). Cuando uno de los extremos es infinito, tenemos una semirrecta. Veamos cómo se representan:

Números reales: valor absoluto

Ejercicios: Ejercicio 4 página29 c) (- , 0) U (3, + ) e) |X - 4 | > 2

Radicales: definición

Radicales: forma exponencial Ejercicio 1:

Radicales: propiedades Elevar un radical a una potencia consiste en elevar el radicando a dicha potencia. Hacer el radical de otro radical consiste en multiplicar los índices.

Se pueden introducir los coeficientes en el radical elevándolos al índice. Se pueden extraer factores del radical si su exponente es igual al índice.

Radicales: producto

Radicales: cociente

Radicales: suma

Radicales: racionalización Racionalizar consiste en realizar las operaciones necesarias para que no haya radicales en el denominador de una fracción.

Si en el denominador hay una suma o resta con raíces cuadradas, debemos multiplicar por la operación contraria (recuerda: suma por diferencia, diferencia de cuadrados).

Logaritmos: definición

Logaritmos: observaciones El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base El logaritmo de la base es siempre 1 No existen logaritmos de números menores o iguales a cero En los logaritmos decimales (base 10), no se suele indicar la base Ln significa logaritmo neperiano (base e)

Logaritmos:propiedades

Logaritmos: ejercicios Resuelve aplicando la definición de logaritmo Ejercicio (se resuelve cada logaritmo y luego se suman o restan los resultados como indica la expresión):

Logaritmos: ejercicios (cont.) Aplica las propiedades de los logaritmos para resolver los siguientes ejercicios. EJERCICIO 1: Expresa como un solo logaritmo 3log2 + log5 + log1/25 - log4 EJERCICIO 2: Resuelve log416 + log2 32 - log51 + log21/4 EJERCICIO 3 : Sabiendo que log 2 = 0,30103... halla: a) log 0,25 b) log 512 c) log 30,02

Ejercicios de repaso: Radicales: página 46, ejercicios 22, 24, 26 y 28 Intervalos: página 47, ejercicios 37, 38 y 41 Logaritmos: página 48, ejercicios 50, 51, 55 y 57

Polinomios: definición Los polinomios son expresiones algebraicas (expresiones numéricas que contienen letras). Cuando solamente tienen un término se llaman monomios y cuando tienen dos, binomios. Si hay algún término que no tenga letra, se le llama término independiente. Ejemplos: 3x2 – 2x + 3 Grado 2 Término independiente: +3 4a – 3ab4 Grado 5 Al número se le llama coeficiente y a las letras parte literal. El grado de un monomio es el número de letras y se obtiene sumando los exponentes de todas las letras. El grado del polinomio se corresponde al con el del monomio de mayor grado.

Polinomios: valor numérico Se denomina valor numérico de un polinomio al resultado de sustituir cada letra por un número determinado: Ejemplo: P(x) = 3x2 – 4x + 6 Halla el valor numérico de P(x) para x = -2 P(-2) = 3·(-2)2 – 4·(-2) + 6 = 3·4 – (-8) + 6 = 26 Ejercicio: Halla el valor numérico del polinomio P(x) para x = -1 y para x = 1 P(x) = 2x3 – 3x2 – 7x + 2

Polinomios: sumas y restas Para sumar y restar polinomios se suman y restan los coeficientes de los términos semejantes (es decir, los que tienen exactamente la misma parte literal).

Polinomios: multiplicaciones Se multiplican todos los términos de un polinomio por todos los términos del otro polinomio. Para multiplicar dos términos se multiplican los coeficientes por un lado y las letras por otro. Recuerda, si no hay nada delante de una letra, el coeficiente es 1.

Polinomios: divisiones

Polinomios: división por Ruffini Cuando el divisor es de la forma (x ± nº), se puede usar esta otra forma de dividir. 1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1. 2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2 3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4. 4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente. Resto = 5 y C(x)=2x2 + 3x por tanto 2x3 + x2 - 3x + 5 =(x-1) (2x2 + 3x) +5 2x3 + x2 - 3x + 5:(x-1)

Polinomios: teorema del resto En aquellas divisiones que se pueden hacer por Ruffini, el resto de dicha división coincide con el valor numérico del número que anula el divisor (es decir, del número que ponemos en la “caja”). Vamos a dividir entre (x-2). Obtenemos de resto 26 El número que anula el divisor es +2, que es el número que ponemos en la “caja” al dividir por Ruffini. Si hallamos el valor numérico P(2), volveremos a obtener 26. P(2) = 2·(2)4 – 3·(2)3 + 5·(2)2 – 6·(2) + 10 = 32 – 24 + 20 – 12 + 10 = 26

Polinomios: factorización Factorizar consiste en descomponer un polinomio en factores del menor grado posible. Para ello se siguen los siguientes pasos: Sacar factor común Dividir por Ruffini hasta grado 2. Tenemos que buscar el divisor cuyo resto sea cero (hay que buscarlo entre los divisores del término independiente) Comprobar si es una igualdad notable, volver a dividir por Ruffini o utilizar la fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado Escribir el polinomio como producto de los factores Los valores que anulan cada factor se denominan raíces del polinomio y corresponden a los valores de x cuyo valor numérico es cero.

Polinomios: factorización (cont.)

Polinomios: factorización (cont.)

Polinomios: teorema del resto y factorización (ejercicios) Dado el polinomio P(x) = x3 + 4x2 + mx – 6 , calcula el valor de m para que la división entre (x+2) sea exacta (o lo que es lo mismo, para que – 2 sea raíz del polinomio) Factoriza los siguientes polinomios: P(x) = x4 – x3 – 7x2 + 13x – 6 Q(x) = 4x3 – 8x2 + 5x – 1 R(x) = 6x4 – x3 – 4x2 – x

Polinomios: fracciones algebraicas La fracciones algebraicas son aquellas cuyo denominador y/o numerador son polinomios. Con ellas se pueden hacer las mismas operaciones que con las fracciones numéricas: simplificar, sumar/restar, multiplicar/dividir.

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.) Hemos multiplicado y ahora habría que simplificar * Observación: es más práctico factorizar y simplificar antes de multiplicar. Ejercicio:

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.)

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.) Ejercicios:

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.) mcm= (x+2)2(x-1)

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.)

Polinomios: fracciones algebraicas (cont.) Ejercicios: (Página 92, ejercicio 5, apartados c), d) y e)

Ecuaciones: 1er y 2º grado Para resolver ecuaciones de primer grado(x), se quitan los denominadores (pasando todo a común denominador), se quitan los paréntesis (haciendo la multiplicación) y se colocan los términos con letras a un lado y los términos sin letras al otro. Recuerda, para pasar términos de un lado a otro, se pasan haciendo la operación contraria. Para resolver ecuaciones de 2º grado (x2), se quitan denominadores y paréntesis y se pasa todo al mismo lado, de forma que quede igual a cero. Los coeficientes de las x se introducen en la fórmula de la ecuación de 2º grado.

Ecuaciones: 1er y 2º grado (cont.) Para practicar:

Ecuaciones: 3er grado y superior Para resolver ecuaciones de tercer grado(x3) o superior, se pasan todos los términos al mismo lado (como en la ecuación de 2º grado) y se descompone el polinomio resultante. Las soluciones de la ecuación serán las resultantes de igualar cada factor a cero, es decir, las raíces del polinomio. X4 + 2x3 – 5x2 – 6x = 0

Ecuaciones: bicuadradas Las ecuaciones bicuadradas tienen la forma de una ecuación de segundo grado pero la parte literal de cada término está elevada al cuadrado. Para resolverlas se hace un cambio de variable (sustituimos x2 por otra letra [t]), de forma que la ecuación con t es de segundo grado. Una vez resuelta la ecuación de segundo grado no debemos olvidar deshacer el cambio de variable para obtener los valores de x.

Ecuaciones: irracionales (con raíces) Para resolver ecuaciones irracionales, es necesario quitar las raíces. Para ello, dejamos la raíz sola a un lado del igual y elevamos al cuadrado en ambos lados. Resolvemos la ecuación resultante y comprobamos las soluciones. Si tuviera dos raíces habría que repetir la operación hasta que no quede ninguna raíz antes de resolver la ecuación.

Ecuaciones:bicuadradas/irracionales Ejercicios:

Ecuaciones: racionales Para resolver estas ecuaciones debemos quitar denominadores. Para ello se descomponen los denominadores y se saca el mínimo común múltiplo a ambos lados del igual. Una vez quitados los denominadores, se realizan las operaciones indicadas en los numeradores y quedará una ecuación que se resolverá según sea su grado.

Ecuaciones:racionales Ejercicios:

Ecuaciones: logarítmicas Para resolver ecuaciones logarítmicas usaremos las propiedades de los logaritmos para que nos quede un solo logaritmos a cada lado del igual. Entonces igualaremos las expresiones que hayan quedado dentro de cada logaritmo y resolveremos la ecuación resultante.

Ecuaciones: exponenciales Son aquellas en las que la incógnita (x) está en el exponente. Las hay de distintos tipos. Aquí solo vamos a explicar las que se resuelven directamente o tomando logaritmos. Las que tienen varios exponentes con x, se resuelven aplicando las propiedades de las potencias y haciendo un cambio de variable. Al final del tema se muestra el proceso como ampliación.

Ecuaciones:logarítmicas/exponenciales Sol: x = 6, x = 0 no vale Sol: x = 2, x = -5 no vale Sol: x = + 2,336 Sol: x = -3/4 Ejercicios libro: página 93, ejercicio 15 y página 94, ejercicios 16 y 18.

Sistemas de ecuaciones (repaso por sustitución)

Sistemas de ecuaciones (repaso por reducción)

Sistemas de ecuaciones (método de Gauss para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas)

Sistemas de ecuaciones (método de Gauss para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas)

Sistemas de ecuaciones (método de Gauss para sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas) Ejercicio: Sol: x = 1, y = -2, z = 3 Ejercicios libro: página 94, ejercicio 20 y, si os atrevéis, 21, 22 y 23. Página 95, ejercicio 26 y 27.

Inecuaciones (desigualdades) Inecuaciones de primer grado. ¡Ojo! Recuerda dejar las x siempre en positivo. Para hacerlo puedes pasar las x al lado donde te vayan a quedar positivas, o multiplicar todo por –1 y darle la vuelta al signo > ó <

Inecuaciones (desigualdades) Sistemas de inecuaciones de primer grado.

Inecuaciones (desigualdades) Inecuaciones de segundo grado. No es solución Sí es solución: (4, +)

Inecuaciones (desigualdades) Inecuaciones con denominadores.

Inecuaciones (ejercicios)

Ecuaciones exponenciales (ampliación)

Ecuaciones exponenciales (ampliación) Para practicar intenta el ejercicio 17 de la página 94 del libro.